《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题2】已知关于$x的方程\frac{1}{4}x^{2}-(m-2)x+m^{2}= 0$有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围.

答案： 思路导引 方程有两个不相等的实数根,则$b^{2}-4ac＞0$,关键是准确确定$a$,$b$,$c$的值.
解：$\because \Delta=b^{2}-4ac= [-(m-2)]^{2}-4 × \frac{1}{4} × m^{2}= -4m+4$,
$\therefore$当方程有两个不相等的实数根时,$b^{2}-4ac＞0$,$-4m+4＞0$,即$m＜1$.
$\therefore m的取值范围是m＜1$.

1. 一元二次方程$x^{2}-4x+4= 0$的根的情况是(B).
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： 解：对于一元二次方程$x^{2}-4x+4=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=4$。
判别式$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×4=16 - 16=0$。
因为$\Delta=0$，所以方程有两个相等的实数根。
答案：B

2. 解一元二次方程$x^{2}-3x+\frac{9}{4}= 0$时,$\Delta=b^{2}-4ac=$0,可得方程的根为$x_{1}=x_{2}=\frac{3}{2}$.

答案： 【解析】：
首先，我们识别方程$x^{2}-3x+\frac{9}{4}= 0$中的$a$、$b$、$c$。
在这个方程中，$a = 1$，$b = -3$，$c = \frac{9}{4}$。
接着，我们计算判别式$\Delta$。
根据判别式的公式$\Delta = b^{2} - 4ac$，
代入$a = 1$，$b = -3$，$c = \frac{9}{4}$，
得到：$\Delta = (-3)^{2} - 4 × 1 × \frac{9}{4} = 9 - 9 = 0$，
由于$\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根。
使用求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，
代入$a = 1$，$b = -3$，$\Delta = 0$，
得到：$x = \frac{3 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{3}{2}$，
因此，方程的两个相等的实数根为$x_{1} = x_{2} = \frac{3}{2}$。
【答案】：
$\Delta = 0$；$x_{1} = x_{2} = \frac{3}{2}$。

3. 一元二次方程$x^{2}-3x= 1$的解是$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}，x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$.

答案： 【解析】：
首先，将方程$x^{2}-3x= 1$，整理为标准形式：
$x^{2}-3x-1=0$，
其中，$a=1，b=-3，c=-1$，
接下来，计算判别式$\Delta$：
$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-1)=9+4=13$，
由于$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实根。
使用一元二次方程的求根公式求解：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，
所以，方程的两个解分别为：
$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}，x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$，
【答案】：
$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}，x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。

4. 用公式法解下列方程.
(1)$2x^{2}+x-4= 0$.
(2)$4x^{2}-3x+1= 0$.

答案： 【解析】：
本题考查的是利用公式法解一元二次方程。
公式法即使用一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$来求解方程。
对于方程$2x^{2}+x-4= 0$，需要先确定系数a，b，c的值，然后代入求根公式计算。
对于方程$4x^{2}-3x+1= 0$，同样需要先确定系数a，b，c的值，然后计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，根据判别式的值判断方程是否有实数解，再代入求根公式计算（如果$\Delta \geq 0$）。
【答案】：
(1)解：
对于方程$2x^{2}+x-4= 0$，
系数$a=2$，$b=1$，$c=-4$，
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4×2×(-4)=1+32=33$，
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数解，
代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{4}$，
所以$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$。
(2)解：
对于方程$4x^{2}-3x+1= 0$，
系数$a=4$，$b=-3$，$c=1$，
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×4×1=9-16=-7$，
因为$\Delta ＜ 0$，所以方程无实数解。

1. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-2x+k= 0$有两个实数根,则$k$的取值范围是(B).
A.$k \geqslant 1$
B.$k \leqslant 1$
C.$k \geqslant -1$
D.$k＜1$

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的根的判别式。对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$，其判别式为$\Delta = b^{2} - 4ac$。
若方程有两个实数根，则必须满足$\Delta \geqslant 0$。
对于给定的方程$x^{2} - 2x + k = 0$，其中$a = 1, b = -2, c = k$。
代入判别式得：$\Delta = (-2)^{2} - 4(1)(k) = 4 - 4k$。
要使方程有两个实数根，需要满足：$4 - 4k \geqslant 0$。
解这个不等式得到：$k \leqslant 1$。
【答案】：
B. $k \leqslant 1$。

2. 若关于$x的一元二次方程kx^{2}-2x-1= 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是(B).
A.$k＞-1$
B.$k＞-1且k \neq 0$
C.$k＜1$
D.$k＜1且k \neq 0$

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
根据题意，方程 $kx^{2} - 2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，所以需要满足以下条件：
1. 判别式 $\Delta ＞ 0$，即 $(-2)^{2} - 4k(-1) ＞ 0$，化简得 $4 + 4k ＞ 0$，进一步化简得 $k ＞ -1$。
2. 二次项系数 $k \neq 0$，因为如果 $k = 0$，方程就退化为一元一次方程，不再是一元二次方程。
综合以上两个条件，得到 $k ＞ -1$ 且 $k \neq 0$。
【答案】：
B. $k ＞ -1$ 且 $k \neq 0$。

3. 一元二次方程$2x^{2}+3\sqrt{2}x= -3$的根的情况是(D).
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无实数根

答案： 【解析】：
首先，将原方程$2x^{2}+3\sqrt{2}x= -3$，移项得到标准形式：
$2x^{2}+3\sqrt{2}x + 3 = 0$
其中，$a = 2$，$b = 3\sqrt{2}$，$c = 3$。
接下来，我们利用根的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$来判断方程的根的情况。
代入$a$，$b$，$c$的值，我们得到：
$\Delta = (3\sqrt{2})^{2} - 4 × 2 × 3 = 18 - 24 = -6$
由于$\Delta ＜ 0$，根据一元二次方程的根的判别法则，我们知道方程无实数根。
【答案】：
D. 无实数根。

4. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-2x+k= 0$无实数根,则实数$k$的取值范围是$k ＞ 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的判别式及其性质。
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根。
当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程无实数根。
对于方程 $x^2 - 2x + k = 0$，其中 $a = 1, b = -2, c = k$。
根据题意，该方程无实数根，所以 $\Delta ＜ 0$。
代入 $a, b, c$ 的值，得到：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × k = 4 - 4k ＜ 0$，
解这个不等式，得到：
$4 - 4k ＜ 0 \implies 4 ＜ 4k \implies k ＞ 1$，
所以，实数 $k$ 的取值范围是 $k ＞ 1$。
【答案】：
$k ＞ 1$。

5. 一元二次方程$x^{2}-3x-2= 0$的解是$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$，$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的求解，具体为使用公式法求解一元二次方程。
公式法解一元二次方程的一般形式为：对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$，其解为$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
对于方程$x^{2} - 3x - 2 = 0$，我们有：$a = 1, b = -3, c = -2$。
将这些值代入公式，可以得到方程的解。
【答案】：
解：对于方程$x^{2} - 3x - 2 = 0$，
$a = 1, b = -3, c = -2$，
首先计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 × 1 × ( - 2) = 9 + 8 = 17$，
由于$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
接下来，使用公式法求解方程：
$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$，
$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$，
故答案为：$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$，$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$。

6. 用公式法解下列方程.
(1)$3x^{2}-1= 4x$.
(2)$(x-1)(x+3)= 1$.

答案：
(1)解：移项得$3x^{2}-4x - 1=0$
$a=3$，$b=-4$，$c=-1$
$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×3×(-1)=16 + 12=28＞0$
$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$
$x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(2)解：展开得$x^{2}+3x - x - 3=1$，即$x^{2}+2x - 4=0$
$a=1$，$b=2$，$c=-4$
$\Delta =b^{2}-4ac=2^{2}-4×1×(-4)=4 + 16=20＞0$
$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
$x_{1}=-1+\sqrt{5}$，$x_{2}=-1-\sqrt{5}$