《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

5. 对于任意实数$a$,$b$,定义$a*b = a(a + b) + b$,已知$a*4 = 25$,则实数$a$的值是3或-7.

答案： 解：由定义可得，$a*4 = a(a + 4) + 4$。
已知$a*4 = 25$，则：
$a(a + 4) + 4 = 25$
展开得：$a^2 + 4a + 4 = 25$
配方得：$(a + 2)^2 = 25$
开平方得：$a + 2 = ±5$
当$a + 2 = 5$时，$a = 3$；
当$a + 2 = -5$时，$a = -7$。
故实数$a$的值是$3$或$-7$。

6. 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程$x^2 - 5x + 4 = 0$的两个根,求这个等腰三角形的周长.

答案： 解：解方程$x^2 - 5x + 4 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 4) = 0$，
则$x - 1 = 0$或$x - 4 = 0$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 4$。
情况一：腰长为1，底边长为4。
因为$1 + 1 = 2 ＜ 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立。
情况二：腰长为4，底边长为1。
因为$4 + 1 = 5 ＞ 4$，$4 + 4 = 8 ＞ 1$，满足三角形三边关系。
此时周长为$4 + 4 + 1 = 9$。
综上，这个等腰三角形的周长为9。

7. 用配方法解下列方程.
(1)$x^2 + 4x - 2 = 0$.
(2)$x^2 - 6x - 9 = 0$.
(3)$2x^2 - 8x - 1 = 0$.

答案：
(1)解：移项，得$x^2 + 4x = 2$，配方，得$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$，即$(x + 2)^2 = 6$，开方，得$x + 2 = \pm\sqrt{6}$，解得$x_1 = -2 + \sqrt{6}$，$x_2 = -2 - \sqrt{6}$。
(2)解：移项，得$x^2 - 6x = 9$，配方，得$x^2 - 6x + 9 = 9 + 9$，即$(x - 3)^2 = 18$，开方，得$x - 3 = \pm3\sqrt{2}$，解得$x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$，$x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$。
(3)解：方程两边同除以2，得$x^2 - 4x - \frac{1}{2} = 0$，移项，得$x^2 - 4x = \frac{1}{2}$，配方，得$x^2 - 4x + 4 = \frac{1}{2} + 4$，即$(x - 2)^2 = \frac{9}{2}$，开方，得$x - 2 = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得$x_1 = 2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = 2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$。

8. 先阅读下面的例题,再按要求解答下列问题.
例题：求代数式$y^2 + 4y + 8$的最小值.
解：$y^2 + 4y + 8$
$= y^2 + 4y + 4 + 4$
$= (y + 2)^2 + 4$.
∵$(y + 2)^2 ≥ 0$,
∴$(y + 2)^2 + 4 ≥ 4$.
∴$y^2 + 4y + 8$的最小值是4.
利用上面例题的求解方法,求代数式$m^2 + m + 4$的最小值.

答案： 【解析】：
本题要求利用配方法求代数式的最小值。配方法是一种通过对方程进行变形，使其转化为完全平方的形式，从而简化求解过程的方法。
首先，我们需要将代数式$m^2 + m + 4$进行配方处理。
将$m^2 + m$进行配方，需要加上和减去$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，得到：
$m^2 + m + 4 = m^2 + m + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 4 = (m + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$，
由于$(m + \frac{1}{2})^2$是一个平方项，其值总是大于等于0，即：
$(m + \frac{1}{2})^2 \geq 0$，
所以，代数式$(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$的最小值就是当$(m + \frac{1}{2})^2 = 0$时取到的，即最小值为$\frac{15}{4}$。
【答案】：
解：$m^2 + m + 4$
$= m^2 + m + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 4$
$= (m + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$
∵$(m + \frac{1}{2})^2 \geq 0$，
∴$(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} \geq \frac{15}{4}$，
∴$m^2 + m + 4$的最小值是$\frac{15}{4}$。

9. 已知方程$x^2 - 4x + y^2 + 6y + \sqrt{z + 2} + 13 = 0$,求$(xy)^z$的值.

答案： 解：将方程左边配方，得
$\begin{aligned}x^2 - 4x + y^2 + 6y + \sqrt{z + 2} + 13&=0\\(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + \sqrt{z + 2}&=0\\(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + \sqrt{z + 2}&=0\end{aligned}$
因为$(x - 2)^2 \geq 0$，$(y + 3)^2 \geq 0$，$\sqrt{z + 2} \geq 0$，所以
$\begin{cases}x - 2 = 0\\y + 3 = 0\\z + 2 = 0\end{cases}$
解得$x = 2$，$y = -3$，$z = -2$。
则$(xy)^z = [2×(-3)]^{-2} = (-6)^{-2} = \frac{1}{(-6)^2} = \frac{1}{36}$。
答案：$\frac{1}{36}$