《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

6.某商店销售某款龙年吉祥物纪念品,已知
每件进价为7元,当销售单价定为9元时,
每天可以销售200件.经市场调查反映,
销售单价每提高1元,日销量将会减少10
件,现销售单价不低于原销售单价,且不
得超过进价的2倍.设该纪念品的销售单
价为x元/件,日销量为y件,日销售利润
为w元.
(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自
变量x的取值范围.
(2)求日销售利润w与销售单价x之间的
函数解析式.当x为何值时,日销售
利润最大,并求出最大利润.

答案：
(1) 解：由题意得，销售单价每提高1元，日销量减少10件。当销售单价为x元时，比原单价9元提高了(x - 9)元，所以日销量减少10(x - 9)件。
则y = 200 - 10(x - 9) = -10x + 290。
自变量x的取值范围：原销售单价为9元，且不超过进价的2倍（7×2 = 14元），所以9 ≤ x ≤ 14。
(2) 解：日销售利润w = (销售单价 - 进价)×日销量，即w = (x - 7)y。
将y = -10x + 290代入，得w = (x - 7)(-10x + 290) = -10x² + 360x - 2030。
配方得w = -10(x - 18)² + 1210。
∵a = -10 ＜ 0，抛物线开口向下，对称轴为x = 18。
又
∵9 ≤ x ≤ 14，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x = 14时，w最大，最大利润为w = -10(14 - 18)² + 1210 = 1050元。
答：
(1) y = -10x + 290（9 ≤ x ≤ 14）；
(2) w = -10x² + 360x - 2030，当x = 14时，日销售利润最大，最大利润为1050元。

7.暑假期间,某电影院装修后重新开业.试
营业期间统计发现,电影院每天售出的电
影票数y(单位:张)与电影票售价x(单
位:元/张)之间满足一次函数关系:y=
-4x+260(30≤x≤60),x为整数,电影
院每天的运营成本为1600元,设电影院
每天的利润为W(单位:元)(利润= 票房
收入-运营成本).电影院将电影票售价
定为多少时,每天获利最大？最大利润为
多少元？

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的最值问题。
首先，根据题目给出的“利润=票房收入-运营成本”的关系，可以得到利润$W$与电影票售价$x$之间的函数关系式。
票房收入为电影票售价$x$与售出的电影票数$y$的乘积，即$xy$，而$y=-4x+260$，所以票房收入为$x(-4x+260)$。
运营成本为1600元，所以利润$W=x(-4x+260)-1600$。
展开后得到$W=-4x^2+260x-1600$。
这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，对称轴的公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
将$a=-4$，$b=260$代入，得到$x=32.5$。
由于$x$必须为整数，所以需要检查$x=32$和$x=33$时的利润，以确定最大利润。
但由于二次函数开口向下，且对称轴为$x=32.5$，所以最大值必然出现在$x=32$或$x=33$，且两者利润相同。
将$x=32$或$x=33$代入$W=-4x^2+260x-1600$，可得到最大利润。
【答案】：
解：
由题意，得$W=x(-4x+260)-1600$
$=-4x^2+260x-1600$
$=-4(x^2-65x)-1600$
$=-4(x^2-65x+1056.25-1056.25)-1600$
$=-4(x-32.5)^2+4225-1600$
$=-4(x-32.5)^2+2625$
∵$a=-4＜0$
∴当$x=32.5$时，$W$取到最大值，
∵$x$为整数
∴当$x=32$或$33$时，$W$最大
$W_{最大}=-4×(32-32.5)^2+2625=2624$（元）
答：电影院将电影票售价定为32元/张或33元/张时，每天获利最大，最大利润为2624元。

8.某超市以每千克30元的价格购进一种干
果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到实惠,现决定降价销售.已知这种干果的销量ykg与每千克降价x(0＜x ＜20)元之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)当这种干果每千克降价多少元时,超市获利最大,最大利润是多少元?

答案：
(1)设$y$与$x$之间的函数解析式为$y=kx+b$，由图象可知，当$x=2$时，$y=120$；当$x=4$时，$y=140$，代入得$\begin{cases}2k + b=120\\4k + b=140\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 10\\b=100\end{cases}$，所以$y = 10x+100$。
(2)设超市获利为$w$元，每千克利润为$(60 - 30 - x)$元，销量为$y=(10x + 100)$kg，则$w=(30 - x)(10x + 100)=-10x^{2}+200x + 3000=-10(x - 10)^{2}+4000$，因为$-10\lt0$，所以当$x = 10$时，$w$有最大值$4000$。
答：
(1)$y$与$x$之间的函数解析式为$y = 10x + 100$；
(2)当每千克降价$10$元时，超市获利最大，最大利润是$4000$元。