《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

8. 如图,一个矩形的长为4 cm,宽为3 cm,如果将这个矩形的长与宽都增加$x$ cm,那么这个矩形的面积增加$y$ $cm^{2}$.
(1) 求$y与x$之间的函数解析式.
(2) 这个函数是二次函数吗？为什么？
(3) 求自变量的取值范围.

答案： 【解析】：
(1)要求$y$与$x$之间的函数解析式，我们需要先求出原矩形的面积和长宽增加后的矩形面积，然后做差得到增加的面积$y$。
原矩形的长为$4cm$，宽为$3cm$，所以原矩形的面积为$4 × 3 = 12 cm^2$。
长宽增加$x cm$后，新的长为$(4+x) cm$，新的宽为$(3+x) cm$，所以新的矩形面积为$(4+x)(3+x) cm^2$。
根据矩形面积公式：$S=a× b$，可得增加的面积$y$为新的矩形面积减去原矩形面积，即：
$y = (4+x)(3+x) - 12$
$= 12 + 4x + 3x + x^2 - 12$
$= x^2 + 7x$
所以，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = x^2 + 7x$。
(2)判断这个函数是否是二次函数，我们需要看它的最高次项是否是$x^2$，并且$x^2$的系数不为0。
观察函数$y = x^2 + 7x$，它的最高次项是$x^2$，且$x^2$的系数是1，不为0，所以这个函数是二次函数。
(3)要求自变量的取值范围，我们需要考虑实际情况。
在这个问题中，$x$表示长和宽都增加的长度，所以$x$必须大于0，即$x ＞ 0$。
同时，由于长和宽在增加$x$后仍然是实际存在的长度，所以$x$没有上限，但在这个问题中，我们通常只考虑$x$为实数且大于0的情况。
所以，自变量的取值范围是$x ＞ 0$，或写作$x \in \mathbb{R}, x ＞ 0$（但一般写作$x ＞ 0$即可）。
【答案】：
(1) $y = x^2 + 7x$；
(2) 是二次函数，因为最高次项是$x^2$，且$x^2$的系数不为0；
(3) $x ＞ 0$。