《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

4.如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,
AB,CD的延长线交于点E. 已知AB=
2DE,∠E= 20°,求∠A0C的度数.

答案： 解：连接OD。
∵AB为⊙O直径，AB=2DE，
∴OD=DE=OA=OB。
∵∠E=20°，
∴∠DOE=∠E=20°。
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=∠DOE+∠E=40°。
∵∠AOC=∠OCD+∠E，
∴∠AOC=40°+20°=60°。
答：∠AOC的度数为60°。

1.下列各图形中,各个顶点一定在同一个圆上的是(A).
A.正方形
B.菱形
C.平行四边形
D.梯形

答案： 【解析】：
本题考查的是圆的性质和四边形的性质。要判断哪个四边形的所有顶点一定在同一个圆上，需要理解圆上四点的性质，即对角互补。
A选项：正方形的对角线相等且互相平分，因此正方形的四个顶点一定共圆，圆心是对角线的交点，半径是对角线长度的一半。符合题意。
B选项：菱形的对角线互相平分但不一定相等，因此菱形的四个顶点不一定共圆。不符合题意。
C选项：平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，且不一定垂直，因此平行四边形的四个顶点不一定共圆。不符合题意。
D选项：梯形的对角线一般不相等也不垂直，因此梯形的四个顶点不一定共圆。不符合题意。
综上所述，只有正方形的四个顶点一定在同一个圆上。
【答案】：A

2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O 上.若∠B0C= 110°,AD//0C,则∠AOD 的度数为(D).
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°

答案： 【解析】：本题可根据圆的性质以及平行线的性质来求解$\angle AOD$的度数。
步骤一：求出$\angle BOC$的邻补角$\angle AOC$的度数
已知$\angle BOC = 110^{\circ}$，因为$\angle AOC$与$\angle BOC$是邻补角，根据邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和为$180^{\circ}$，可得：
$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle BOC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$
步骤二：根据平行线的性质求出$\angle OAD$的度数
因为$AD// OC$，根据两直线平行，同位角相等，$\angle OAD$与$\angle AOC$是同位角，所以$\angle OAD = \angle AOC = 70^{\circ}$。
步骤三：根据圆的性质求出$\angle AOD$的度数
由于$OA = OD$（圆的半径相等），所以$\triangle AOD$是等腰三角形，根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，可得$\angle ODA = \angle OAD = 70^{\circ}$。
再根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle AOD$中，$\angle AOD + \angle OAD + \angle ODA = 180^{\circ}$，则：
$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle OAD - \angle ODA = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}$
【答案】：D

3.如图,在△ABC中,∠C= 90°,AB= 10. 若以点C为圆心,CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则⊙C的半径为(D).
A.5$\sqrt{3}$
B.8
C.6
D.5

答案： 解：在△ABC中，∠C=90°，AB=10，D是AB的中点，
∴CD=AD=BD=1/2AB=5（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵以点C为圆心，CA长为半径的圆经过点D，
∴CA=CD=5，即⊙C的半径为5。
答案：D

4.如图,点B,E在半圆O上,四边形OABC与四边形ODEF均为矩形.若AB= 3,BC = 4,则DF的长为______5.

答案： 解：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=4，AB=OC=3，∠OAB=∠OCA=90°。
连接OB，在Rt△OAB中，
OB=$\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵点B在半圆O上，
∴OB为半圆O的半径，即半径r=5。
∵四边形ODEF是矩形，
∴OD=EF，DF=OE，∠ODE=90°。
∵点E在半圆O上，
∴OE为半圆O的半径，OE=5。
∴DF=OE=5。
答案：5

5.如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图象称为“果圆”. 已知点A,B,C,D分别是“果圆”与坐标轴的交点. 若抛物线的解析式为$y= x^2-4x-5,AB$为半圆的直径,则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为$5 + \sqrt{5}$.

答案： 解：对于抛物线$y = x^2 - 4x - 5$，令$y = 0$，则$x^2 - 4x - 5 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 5$，所以$A(-1, 0)$，$B(5, 0)$。
$AB$中点$M$的坐标为$(\frac{-1 + 5}{2}, 0) = (2, 0)$，$AB = 5 - (-1) = 6$，半圆半径$r = 3$。
半圆方程为$(x - 2)^2 + y^2 = 9$（$y \geq 0$），令$x = 0$，得$(0 - 2)^2 + y^2 = 9$，$y^2 = 5$，$y = \sqrt{5}$（$y = -\sqrt{5}$舍去），所以$C(0, \sqrt{5})$。
对于抛物线，令$x = 0$，$y = -5$，所以$D(0, -5)$。
$CD = \sqrt{5} - (-5) = \sqrt{5} + 5$。
答案：$5 + \sqrt{5}$

6.如图,在⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于
点C,四边形CDEF是正方形,连接BD.
若C0= 3,0F= 1,求BD的长.

答案： 解：连接OD。
∵AB为直径，CD⊥AB，
∴∠DCB=90°，设CD=DE=EF=FC=x。
∵CO=3，OF=1，
∴CF=CO+OF=4，即x=4，
∴CD=4，OC=3。
在Rt△OCD中，OD²=OC²+CD²=3²+4²=25，
∴OD=5，即⊙O的半径为5，
∴OB=OD=5。
∵OF=1，
∴CB=CO+OF+FB=3+1+FB，又OB=5，OF=1，
∴FB=OB - OF=5 - 1=4，
∴CB=3+1+4=8。
在Rt△DCB中，BD²=CD²+CB²=4²+8²=16+64=80，
∴BD=√80=4√5。
答：BD的长为4√5。