《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

1.若$x_1$,$x_2是一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0$的两个根,则$x_1 + x_2$的值是(B)。
A.1
B.5
C.-5
D.6

答案： 解：对于一元二次方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，其中$a = 1$，$b = -5$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
则$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5$。
答案：B

2.已知一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0的两个根为x_1$,$x_2$,则$x_1x_2 = $$-\frac{1}{2}$。

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的根与系数的关系。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其两个根$x_1$和$x_2$的乘积为$\frac{c}{a}$。
对于给定的方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，其中$a = 2$，$c = -1$。
所以，$x_1x_2 = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$。
【答案】：
$-\frac{1}{2}$

3.关于$x的一元二次方程x^2 + bx + c = 0$的两个根分别为1和2,则$b = $-3,$c = $2。

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$，
在本题中，$a = 1$，$x_1 = 1$，$x_2 = 2$。
代入上述公式，可以得到：
$1 + 2 = -b$，
$1 × 2 = c$，
解得 $b = -3$，$c = 2$。
【答案】：
$b = -3$；$c = 2$。

4.关于$x的一元二次方程x^2 - 6x + k = 0的两个实数根分别为x_1$,$x_2$,且$x_1 + 2x_2 = 8$,求$k$的值。

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_1 + x_2 = 6$ （因为方程的系数是-6，所以两根之和为-(-6)=6），
$x_1 × x_2 = k$ （因为常数项是k，所以两根之积为k）。
同时，题目给出了另一个条件：
$x_1 + 2x_2 = 8$，
我们可以通过解这个方程组来找到$x_1$和$x_2$的值，进而求得k的值。
【答案】：
解：
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_1 + x_2 = 6$，
$x_1 × x_2 = k$，
结合题目给出的条件$x_1 + 2x_2 = 8$，我们可以得到以下方程组：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 6 \\x_1 + 2x_2 = 8\end{cases}$，
解这个方程组，我们得到：
从第一个方程中解出$x_1$：
$x_1 = 6 - x_2$，
将这个表达式代入第二个方程：
$6 - x_2 + 2x_2 = 8$，
解得：
$x_2 = 2$，
将$x_2 = 2$代入第一个方程：
$x_1 + 2 = 6$，
解得：
$x_1 = 4$，
所以，方程的两个根为$x_1 = 4$和$x_2 = 2$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$k = x_1 × x_2 = 4 × 2 = 8$。
所以，$k$的值为8。

1.已知关于$x的一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0有两个不相等的实数根x_1$,$x_2$,则$x_1^2 + x_2^2$的值是(C)。
A.-7
B.7
C.5
D.-5

答案： 解：对于一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = -3$，$c = 2$。
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2$。
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 3^2 - 2×2 = 9 - 4 = 5$。
答案：C

2.已知方程$3x^2 + (m + 4)x + (m + 1) = 0$的两个根互为相反数,则$m$的值是(B)。
A.4
B.-4
C.1
D.-1

答案： 解：设方程的两个根为$x_1$，$x_2$。
因为方程的两个根互为相反数，所以$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，根与系数的关系为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
在方程$3x^2 + (m + 4)x + (m + 1) = 0$中，$a = 3$，$b = m + 4$，所以$x_1 + x_2 = -\frac{m + 4}{3}$。
由$x_1 + x_2 = 0$，得$-\frac{m + 4}{3} = 0$，解得$m = -4$。
当$m = -4$时，原方程为$3x^2 - 3 = 0$，判别式$\Delta = 0^2 - 4×3×(-3) = 36 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
故$m$的值是$-4$，答案选B。

3.已知$x_1$,$x_2是方程x^2 - x - 1 = 0$的两个根,则$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$的值是-1。

答案： 解：
∵$x_1$，$x_2$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个根，
∴由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = 1$，$x_1x_2 = -1$。
∴$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} = \frac{1}{-1} = -1$。
故答案为：$-1$。

4.已知$m$,$n是方程x^2 - 2x - 1010 = 0$的两个不相等的实数根,则$m^2 + n^2 = $2024。

答案： 解：因为m，n是方程$x^2 - 2x - 1010 = 0$的两个不相等的实数根，
所以根据根与系数的关系，得$m + n = 2$，$mn=-1010$。
$m^2 + n^2=(m + n)^2-2mn$
$=2^2-2×(-1010)$
$=4 + 2020$
$=2024$
2024

5.已知$\alpha$,$\beta是一元二次方程x^2 - 4x - 1 = 0$的两个根,则代数式$(\alpha - 2)(\beta - 2) = $-5。

答案： 解：
∵α，β是一元二次方程$x^2 - 4x - 1 = 0$的两个根，
∴由根与系数的关系得：α + β = 4，αβ = -1。
∴$(α - 2)(β - 2)$
= αβ - 2α - 2β + 4
= αβ - 2(α + β) + 4
= -1 - 2×4 + 4
= -1 - 8 + 4
= -5。
故答案为：-5。

6.已知$T = 3a^2 + 8ab + 3b^2$,若$a$,$b是关于x的方程x^2 - 3x + 2 = 0$的两个实数根,求$T$的值。

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及代数式的化简与求值。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若$a$和$b$是方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个实数根，那么有：
$a + b = -\frac{-3}{1} = 3$ （根的和等于系数的相反数除以最高次项系数）
$ab = \frac{2}{1} = 2$ （根的积等于常数项除以最高次项系数）
接下来，我们将$a$和$b$的关系代入给定的代数式$T = 3a^2 + 8ab + 3b^2$中，进行化简：
首先，我们可以将$T$重写为：
$T = 3(a^2 + b^2) + 8ab$
然后，我们注意到$a^2 + b^2$可以表示为$(a + b)^2 - 2ab$，代入$a + b = 3$和$ab = 2$，得到：
$a^2 + b^2 = 3^2 - 2 × 2 = 9 - 4 = 5$
最后，将$a^2 + b^2 = 5$和$ab = 2$代入$T$的表达式中，得到：
$T = 3 × 5 + 8 × 2 = 15 + 16 = 31$
【答案】：
$T = 31$

7.已知关于$x的方程x^2 + ax + a - 2 = 0$。若该方程的一个根为1,求$a$的值及该方程的另一个根。

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
首先，我们将已知的根$x=1$代入原方程，以求出参数$a$的值。
然后，我们将求得的$a$值代回原方程，最后利用根与系数的关系求出另一个根。
【答案】：
解： 将$x = 1$代入原方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$，得到
$1^2 + a \cdot 1 + a - 2 = 0$，
即$1 + 2a - 2 = 0$，
解得$a = \frac{1}{2}$。
将$a = \frac{1}{2}$代回原方程，得到
$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$，
或整理为$2x^2 + x - 3 = 0$。
设方程的另一个根为$x_1$，
由一元二次方程的根与系数的关系，
有$x_1 \cdot 1 = - \frac{3}{2}$（因为两根之积等于常数项除以首项系数，即$\frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$），
解得$x_1 = - \frac{3}{2}$，
或写作$x_1 = -1.5$。
故$a$的值为$\frac{1}{2}$，该方程的另一根为$- \frac{3}{2}$（或$-1.5$）。

8.已知关于$x的一元二次方程x^2 - 2(a - 1)x + a^2 + 5 = 0有两个不相等的实数根x_1$,$x_2$。
(1)求$a$的取值范围。
(2)若$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 22$,求$a$的值。

答案：
(1)解：
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = [-2(a - 1)]^2 - 4×1×(a^2 + 5) ＞ 0$
$4(a^2 - 2a + 1) - 4a^2 - 20 ＞ 0$
$4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 - 20 ＞ 0$
$-8a - 16 ＞ 0$
$-8a ＞ 16$
$a ＜ -2$
(2)解：由根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = 2(a - 1)$，$x_1x_2 = a^2 + 5$
$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 22$
$[2(a - 1)]^2 - 3(a^2 + 5) = 22$
$4(a^2 - 2a + 1) - 3a^2 - 15 = 22$
$4a^2 - 8a + 4 - 3a^2 - 15 - 22 = 0$
$a^2 - 8a - 33 = 0$
$(a - 11)(a + 3) = 0$
$a_1 = 11$，$a_2 = -3$
∵$a ＜ -2$，
∴$a = -3$