《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

4. 如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,F是CB延长线上一点,且$EA\perp AF$.
求证：$DE= BF$.

答案： 【解析】：本题可通过证明三角形全等，利用全等三角形的对应边相等来证明$DE = BF$。
已知四边形$ABCD$是正方形，则$AB = AD$，$\angle D=\angle ABC = 90^{\circ}$，因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF = 90^{\circ}$，即$\angle D=\angle ABF$。
又因为$EA\perp AF$，所以$\angle FAE = 90^{\circ}$，那么$\angle DAE+\angle BAE = 90^{\circ}$，$\angle BAF+\angle BAE = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle DAE=\angle BAF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle ABF$中，$\begin{cases}AD = AB\\\angle D=\angle ABF\\\angle DAE=\angle BAF\end{cases}$，根据“角边角”（$ASA$）判定定理，可证明$\triangle ADE\cong\triangle ABF$，进而得出$DE = BF$。
【答案】：
证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB = AD$，$\angle D=\angle ABC = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABF = 90^{\circ}$，即$\angle D=\angle ABF$。
∵$EA\perp AF$，
∴$\angle FAE = 90^{\circ}$，
∴$\angle DAE+\angle BAE = 90^{\circ}$，$\angle BAF+\angle BAE = 90^{\circ}$，
∴$\angle DAE=\angle BAF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle ABF$中，
$\begin{cases}AD = AB\\\angle D=\angle ABF\\\angle DAE=\angle BAF\end{cases}$
∴$\triangle ADE\cong\triangle ABF(ASA)$，
∴$DE = BF$。

1. 如图,将$\triangle AOB$绕点O逆时针旋转$75^\circ得到\triangle COD$.若$\angle A= 100^\circ$,$\angle D= 50^\circ$,则$\angle BOC$的度数是(C).

A.$30^\circ$
B.$35^\circ$
C.$45^\circ$
D.$60^\circ$

答案： 解：
∵△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，
∴∠AOC=75°，∠B=∠D=50°，
在△AOB中，∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-100°-50°=30°，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=75°-30°=45°．
答案：C

2. 如图,若将$\triangle ABC$绕点A逆时针旋转$56^\circ后与\triangle AB_1C_1$重合,则$\angle ABB_1= $$62^{\circ}$.

答案： 【解析】：本题可根据旋转的性质求出$\angle BAB_1$的度数，再结合等腰三角形的性质求出$\angle ABB_1$的度数。
步骤一：根据旋转的性质求出$\angle BAB_1$的度数
旋转的性质为：旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
已知$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$56^{\circ}$后与$\triangle AB_1C_1$重合，所以$\angle BAB_1$就是旋转角，即$\angle BAB_1 = 56^{\circ}$。
步骤二：根据旋转的性质得到$AB$与$AB_1$的关系
旋转的性质还表明：旋转前后的对应线段相等。
因为$\triangle ABC$绕点$A$旋转得到$\triangle AB_1C_1$，所以$AB$与$AB_1$是对应线段，那么$AB = AB_1$。
步骤三：根据等腰三角形的性质求出$\angle ABB_1$的度数
由于$AB = AB_1$，所以$\triangle ABB_1$是等腰三角形。
在等腰$\triangle ABB_1$中，$\angle ABB_1$和$\angle AB_1B$是底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得：
$\angle ABB_1=\angle AB_1B=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-\angle BAB_1)=\frac{1}{2}×(180 - 56)^{\circ}= 62^{\circ}$
【答案】：$62^{\circ}$

3. 如图,将边长为3的正方形ABCD绕点C顺时针旋转$30^\circ$后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为√3.

答案： 解：连接CH。
∵正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形EFCG，
∴∠BCF=30°，∠F=∠D=90°，FC=DC=3。
∵∠BCD=90°，
∴∠FCD=∠BCD - ∠BCF=60°。
在Rt△CFH和Rt△CDH中，
∵FC=DC，CH=CH，
∴Rt△CFH≌Rt△CDH（HL）。
∴∠FCH=∠DCH=∠FCD/2=30°。
在Rt△CDH中，∠DCH=30°，DC=3，
tan∠DCH=DH/DC，
即tan30°=DH/3，
DH=3×tan30°=3×(√3/3)=√3。
√3

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^\circ$,$AC= 4$,$BC= 3$,将$\triangle ABC$绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B,D两点间的距离为$\sqrt{10}$.

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转，使点$C$落在线段$AB$上的点$E$处，
则$AE=AC=4$，$DE=BC=3$，$\angle AED=\angle C=90^\circ$。
$\because AB=5$，$AE=4$，
$\therefore BE=AB - AE=5 - 4=1$。
在$Rt\triangle BED$中，$\angle BED=90^\circ$，$BE=1$，$DE=3$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{BE^2 + DE^2}=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$。
$\sqrt{10}$

5. 如图,将$\triangle ABC$绕点B逆时针旋转$48^\circ$,得到$\triangle DBE$,连接EC. 若$EC// AB$,则$\angle CBD$的度数为$18^\circ$.

答案： 【解析】：本题考查旋转的性质及平行线的性质。
由旋转的性质可得$\angle ABD=\angle CBE=48^\circ$，$BC=BE$。
根据平行线性质，$EC// AB$，所以$\angle BCE=\angle ABC$。
利用等腰三角形的性质，$\angle BCE=\angle BEC$。
再由角度关系，$\angle CBE+\angle BCE+\angle BEC=180^\circ$，所以$\angle BCE=\frac{1}{2}(180^\circ-\angle CBE)=66^\circ$。
从而$\angle ABC=\angle BCE=66^\circ$。
最后，$\angle CBD=\angle ABC-\angle ABD=66^\circ-48^\circ=18^\circ$。
【答案】：$18^\circ$。

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC$,将$\triangle ABC$绕点C逆时针旋转角$\alpha(0^\circ＜\alpha＜90^\circ)得到\triangle A_1B_1C$,连接$BB_1$.设$CB_1$交AB于点D,$A_1B_1$分别交AB,AC于点E,F.在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对除$\triangle ABC与\triangle A_1B_1C$外的全等三角形,并加以证明.

答案： 解：$\triangle CBD\cong\triangle CB_1F$
证明：
$\because\triangle ABC$绕点$C$逆时针旋转角$\alpha$得到$\triangle A_1B_1C$，
$\therefore CB=CB_1$，$\angle BCB_1=\alpha$，$\angle A_1B_1C=\angle ABC$。
$\because AC=BC$，
$\therefore\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle ABC=\angle BAC$。
$\because\angle A_1B_1C=\angle ABC$（旋转性质），
$\therefore\angle A_1B_1C=\angle BAC$。
在$\triangle CBD$和$\triangle CB_1F$中，
$\angle CDB=\angle CFB_1$（对顶角相等），
$\angle ABC=\angle A_1B_1C$，
$CB=CB_1$，
$\therefore\triangle CBD\cong\triangle CB_1F(AAS)$。