《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

8. 若二次函数$y = ax^{2} + b$的最大值为$4$，且该函数的图象经过点$A(1, 3)$.
(1) 求$a$，$b$的值以及顶点$D$.
(2) 在二次函数$y = ax^{2} + b$的图象上是否存在点$B$，使得$S_{\triangle DOB} = 2S_{\triangle AOD}$？若存在，请求出点$B$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： $(1)$求$a$，$b$的值以及顶点$D$
- 步骤一：根据二次函数性质求$b$的值
对于二次函数$y = ax^{2}+b$，其对称轴为$x = 0$（$y$轴）。
当$a\lt0$时，函数在$x = 0$处取得最大值。
已知函数最大值为$4$，将$x = 0$代入函数$y = ax^{2}+b$，可得$y=b$，所以$b = 4$。
- 步骤二：根据函数过点$A(1,3)$求$a$的值
把$b = 4$，$A(1,3)$代入$y = ax^{2}+b$，得到$3=a×1^{2}+4$，即$a+4 = 3$，解得$a=-1$。
- 步骤三：求顶点$D$的坐标
对于二次函数$y=-x^{2}+4$，其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$（$(h,k)$为顶点坐标），此函数$h = 0$，$k = 4$，所以顶点$D$的坐标为$(0,4)$。
综上，$a=-1$，$b = 4$，顶点$D(0,4)$。
$(2)$判断是否存在点$B$使得$S_{\triangle DOB}=2S_{\triangle AOD}$
- 步骤一：求$S_{\triangle AOD}$的面积
已知$D(0,4)$，$A(1,3)$，$O(0,0)$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对于$\triangle AOD$，以$OD$为底（$OD = 4$），$A$点横坐标的绝对值$\vert x_{A}\vert=1$为高，则$S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}×4×1 = 2$。
- 步骤二：求$S_{\triangle DOB}$的面积
因为$S_{\triangle DOB}=2S_{\triangle AOD}$，所以$S_{\triangle DOB}=2×2 = 4$。
设$B(x,y)$，对于$\triangle DOB$，以$OD$为底（$OD = 4$），$B$点横坐标的绝对值$\vert x\vert$为高，则$S_{\triangle DOB}=\frac{1}{2}×4×\vert x\vert$。
由$\frac{1}{2}×4×\vert x\vert=4$，解得$\vert x\vert = 2$，即$x=\pm2$。
- 步骤三：求点$B$的坐标
把$x = 2$代入$y=-x^{2}+4$，得$y=-2^{2}+4 = 0$；
把$x=-2$代入$y=-x^{2}+4$，得$y=-(-2)^{2}+4 = 0$。
所以存在点$B$，其坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{a=-1}$，$\boldsymbol{b = 4}$，顶点$\boldsymbol{D(0,4)}$；$(2)$存在，点$B$的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$或$\boldsymbol{(-2,0)}$。

【例题1】已知$y = \frac{1}{3}x^2$,$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2和y = \frac{1}{3}(x - 3)^2$。
(1) ①在同一直角坐标系中画出它们的图象；②分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点。
(2) 根据(1)题的结果,试说明：分别通过怎样的平移,可以由抛物线$y = \frac{1}{3}x^2得到抛物线y = \frac{1}{3}(x + 3)^2和y = \frac{1}{3}(x - 3)^2$。

答案：
思路导引 列表,描点,连线,从数据的变化中发现抛物线的移动规律。
解：
(1) ①略。
②如下表：
| 函数解析式 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点 |
| $y = \frac{1}{3}x^2$ | 向上 | $x = 0$ | $(0, 0)$ |
| $y = \frac{1}{3}(x + 3)^2$ | 向上 | $x = -3$ | $(-3, 0)$ |

| $y = \frac{1}{3}(x - 3)^2$ | 向上 | $x = 3$ | $(3, 0)$ |
(2) 由抛物线$y = \frac{1}{3}x^2$向左平移3个单位长度得抛物线$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2$,由抛物线$y = \frac{1}{3}x^2$向右平移3个单位长度得抛物线$y = \frac{1}{3}(x - 3)^2$。