《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题1】解方程$4(x-2)^2-36= 0$.

答案： 思路导引 ①将方程化成$(mx+n)^2= p(p\geq0)$的形式. ②直接开平方. ③解一元一次方程,写出方程的两个根.
解：移项,得$4(x-2)^2= 36$.
方程两边同时除以4,得$(x-2)^2= 9$.
方程两边开平方,得$x-2= \pm3$.
$\therefore x_1= 5$,$x_2= -1$.

【例题2】解方程$\left(y-\frac{1}{3}\right)^2= 4\left(y+\frac{1}{5}\right)^2$.
思路导引 本题若将原方程整理后再解,则过程比较复杂. 若能注意原方程的特点(两边均非负),整体降次,则简便得多.
解：方程两边开平方,得
$y-\frac{1}{3}= \pm2\left(y+\frac{1}{5}\right)$,
即$y-\frac{1}{3}= 2\left(y+\frac{1}{5}\right)或y-\frac{1}{3}= -2\left(y+\frac{1}{5}\right)$.
当$y - \frac{1}{3} = 2\left(y + \frac{1}{5}\right)$时，
$y - \frac{1}{3} = 2y + \frac{2}{5}$
$y - 2y = \frac{2}{5} + \frac{1}{3}$
$-y = \frac{6}{15} + \frac{5}{15}$
$-y = \frac{11}{15}$
$y = -\frac{11}{15}$
当$y - \frac{1}{3} = -2\left(y + \frac{1}{5}\right)$时，
$y - \frac{1}{3} = -2y - \frac{2}{5}$
$y + 2y = -\frac{2}{5} + \frac{1}{3}$
$3y = -\frac{6}{15} + \frac{5}{15}$
$3y = -\frac{1}{15}$
$y = -\frac{1}{45}$
所以原方程的解为$y_1 = -\frac{11}{15}$，$y_2 = -\frac{1}{45}$

答案： 思路导引 本题若将原方程整理后再解,则过程比较复杂. 若能注意原方程的特点(两边均非负),整体降次,则简便得多.
解：方程两边开平方,得
$y-\frac{1}{3}= \pm2\left(y+\frac{1}{5}\right)$,
即$y-\frac{1}{3}= 2\left(y+\frac{1}{5}\right)或y-\frac{1}{3}= -2\left(y+\frac{1}{5}\right)$.

1. 方程$(x+2)^2= 4$的根为(B).
A.$x_1= -4$,$x_2= -2$
B.$x_1= -4$,$x_2= 0$
C.$x_1= -4$,$x_2= 2$
D.$x_1= 0$,$x_2= 2$

答案： 解：方程两边直接开平方，得
$x + 2 = \pm 2$
当$x + 2 = 2$时，解得$x = 0$；
当$x + 2 = -2$时，解得$x = -4$。
所以方程的根为$x_1 = -4$，$x_2 = 0$。
答案：B

2. 方程$(x-3)^2= 25$的根为$x_{1} = 8$，$x_{2} = -2$.

答案： 【解析】：
本题是一个一元二次方程的求解问题，要求解方程$(x-3)^2= 25$的根。这类方程通常使用直接开平方法来求解。即对方程两边同时开平方，得到$x-3=\pm5$，然后分别求解$x$。
【答案】：
解：
由$(x-3)^2= 25$，
开方得$x - 3 = \pm 5$，
当$x - 3 = 5$时，$x = 5 + 3 = 8$，
当$x - 3 = -5$时，$x = -5 + 3 = -2$，
所以，方程的解为$x_{1} = 8$，$x_{2} = -2$。
故答案为：$x_{1} = 8$，$x_{2} = -2$。

3. 一元二次方程$(x-3)^2= 2$的根是$x_1 = 3 + \sqrt{2}$，$x_2 = 3 - \sqrt{2}$.

答案： 解：方程两边直接开平方，得
$x - 3 = \pm\sqrt{2}$
则$x = 3 \pm\sqrt{2}$
即$x_1 = 3 + \sqrt{2}$，$x_2 = 3 - \sqrt{2}$
$x_1 = 3 + \sqrt{2}$，$x_2 = 3 - \sqrt{2}$

4. 用直接开平方法解下列方程.
(1) $(x-1)^2-3= 0$.
(2) $9(x-1)^2-4= 0$.
(3) $49x^2-36= 0$.
(4) $(2x-1)^2= 5$.

答案： 【解析】：
本题主要考察直接开平方法解一元二次方程。
对于形如$(ax+b)^2=c$的方程，可以直接开平方来求解。
(1) 对于方程 $(x-1)^2-3= 0$，可以先移项，得到 $(x-1)^2=3$，然后直接开平方。
(2) 对于方程 $9(x-1)^2-4= 0$，可以先移项并除以9，得到 $(x-1)^2=\frac{4}{9}$，然后直接开平方。
(3) 对于方程 $49x^2-36= 0$，可以先移项并除以49，得到 $x^2=\frac{36}{49}$，然后直接开平方。
(4) 对于方程 $(2x-1)^2= 5$，可以直接开平方。
【答案】：
(1) 解：
原方程为 $(x-1)^2-3= 0$，
移项得 $(x-1)^2=3$，
开平方得 $x-1=\pm\sqrt{3}$，
所以 $x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$。
(2) 解：
原方程为 $9(x-1)^2-4= 0$，
移项并除以9得 $(x-1)^2=\frac{4}{9}$，
开平方得 $x-1=\pm\frac{2}{3}$，
所以 $x_1=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，$x_2=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
(3) 解：
原方程为 $49x^2-36= 0$，
移项并除以49得 $x^2=\frac{36}{49}$，
开平方得 $x=\pm\frac{6}{7}$，
所以 $x_1=\frac{6}{7}$，$x_2=-\frac{6}{7}$。
(4) 解：
原方程为 $(2x-1)^2= 5$，
开平方得 $2x-1=\pm\sqrt{5}$，
所以 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。