《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题1】如图,P为正方形ABCD内一点。已知$PA= a$,$PB= 2a$,$PC= 3a(a＞0)$。

(1) 求$\angle APB$的度数。
(2) 求正方形ABCD的面积。

答案：
思路导引：本题主要利用旋转的方法,把图形转移位置,使条件相对集中,为证明和计算提供条件。
(1) 可将$\triangle ABP$绕点B顺时针旋转$90^\circ得到\triangle CBQ$,如下图,连接PQ,构成两个特殊三角形。
(2) 用
(1)的结论,证明$\angle APQ= 180^\circ$,得出$\triangle AQC$是直角三角形。根据AQ、QC的长及勾股定理求出AC,从而可求出正方形ABCD的面积。
解：
(1)如图,将$\triangle ABP$绕点B顺时针旋转$90^\circ得到\triangle CBQ$,则$\triangle ABP \cong \triangle CBQ且PB \perp QB$,于是$PB= QB= 2a$,$PA= QC= a$,可得$PQ= 2\sqrt{2}a$。

在$\triangle PQC$中,$PC^2= 9a^2$,$PQ^2+QC^2= 9a^2$,$PC^2= PQ^2+QC^2$,$\angle PQC= 90^\circ$。
$\triangle PBQ$是等腰直角三角形,$\angle BPQ= \angle BQP= 45^\circ$,$\angle APB= \angle CQB= 90^\circ+45^\circ=135^\circ$。
(2) $\angle APQ= \angle APB+\angle BPQ= 135^\circ+45^\circ=180^\circ$,A、P、Q三点在同一直线上。
在Rt$\triangle AQC$中,$AC^2= AQ^2+QC^2= (a+2\sqrt{2}a)^2+a^2= (10+4\sqrt{2})a^2$,正方形ABCD的面积$S= AB^2= \frac{AC^2}{2}= (5+2\sqrt{2})a^2$。

【例题2】等边三角形ABC的边长为6,P为BC上一点,含$30^\circ$,$60^\circ角的直角三角尺的60^\circ$角的顶点落在点P上,使三角尺绕点P旋转。
(1) 如图①(见下页),当P为BC的三等分点且$PE \perp AB$时,判断$\triangle EPF$的形状。
(2) 在(1)问的条件下,FE、PB的延长线交于点G,如图②,求$\triangle EGB$的面积。

(3) 在三角尺旋转的过程中,若$CF= AE= 2(CF \neq BP)$,如图③,求PE的长。

答案：
思路导引：本题主要考查旋转在全等三角形的判定中的应用,利用旋转的性质得到相等的边和角,从而证明三角形全等。
(1) 如图④,只要证得$PE= PF$即可。可通过证明$\triangle BEP和\triangle CPF$全等来得出结论。
(2) 关键就是求GB边上的高。如图⑤,过点E作$EH \perp BC$,那么EH就是所求的高。根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长,从而求出$\triangle EGB$的面积。
(3) 如图⑥,可通过证明四边形EPFA是平行四边形来得出$PE= AF$,从而求出PE的长。

解：
(1)如图④,$PE \perp AB$,$\angle B= 60^\circ$,$BE= \frac{1}{2}BP= \frac{1}{2} × \frac{2}{3}BC= PC$。
$\angle BPE= 30^\circ$,$\angle EPF= 60^\circ$,$FP \perp BC$。
$\angle B= \angle C= 60^\circ$,$BE= PC$,$\angle PEB= \angle FPC= 90^\circ$,$\triangle BEP \cong \triangle CPF(ASA)$,$PE= PF$。
$\angle EPF= 60^\circ$,$\triangle EPF$是等边三角形。
(2) 如图⑤,过点E作$EH \perp BC$于点H。
由
(1)可知,$FP \perp BC$,$FC= BP= \frac{2}{3}BC= 4$,$BE= CP= \frac{1}{3}BC= 2$,$\angle PFE= 60^\circ$,$\angle EBP= 60^\circ$。
在$\triangle CPF$中,$\angle PFC= 90^\circ-\angle C= 30^\circ$,$\angle PFE= 60^\circ$,$\angle GFC= \angle PFC+\angle PFE= 30^\circ+60^\circ=90^\circ$。
在Rt$\triangle FGC$中,$\angle C= 60^\circ$,$FC= 4$,$GC= 2CF= 8$,$GB= GC-BC= 2$。
在Rt$\triangle BEP$中,$\angle EBP= 60^\circ$,$BP= 4$,$PE= 2\sqrt{3}$,$BE= 2$,$EH= BE \cdot PE ÷ BP= \sqrt{3}$。
$S_{\triangle EGB}= \frac{1}{2}BG \cdot EH= \sqrt{3}$。
(3) $CF= 2$,$AC= 6$,$CF= \frac{1}{3}AC= PC$。
$\triangle CPF$是等边三角形,$\angle FPC= 60^\circ$,$\angle BPE= 180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ$。
又$\angle B= 60^\circ$,$\triangle EBP$是等边三角形,$\angle BEP= \angle PFC= 60^\circ$,$PE= AF$,$\angle PEA= \angle PFA$,$\angle A= \angle EPF= 60^\circ$,四边形EPFA是平行四边形,$PE= AF= AC-CF= 6-2= 4$。