《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题1】如图①,有一个圆锥形粮堆,其轴截面是边长为6 m的等边三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食. 此时小猫在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所走的最短路线的长是多少？

答案：
思路导引 在圆锥上观察最短路线比较困难,可以求出圆锥的侧面展开图的圆心角,画出侧面展开图,根据两点之间线段最短,连接BP,BP的长即小猫所走的最短路线.

解：设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,展开后扇形的圆心角度数为n°,则底面圆的周长为$2\pi r$,扇形的弧长为$\frac{n\pi l}{180}$,$\therefore 2\pi r = \frac{n\pi l}{180}$.
$\because轴截面\triangle ABC$为等边三角形,$\therefore AB = AC$,即$l = 2r = 6(m)$. $\therefore r = 3(m)$. 将$r = 3$,$l = 6$. 代入$2\pi r = \frac{n\pi l}{180}$,得$2\pi × 3 = \frac{n\pi × 6}{180}$. 解得$n = 180$. 即圆锥的侧面展开图为半圆,如图②,则$\triangle ABP$为直角三角形,BP为最短路线.
在Rt $\triangle ABP$中,$BP = \sqrt{AB^2 + AP^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}(m)$. 因此小猫所走的最短路线的长是$3\sqrt{5}$ m.

【例题2】如图,从一块直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形.(1)求这个扇形的面积(结果保留$\pi$).(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪下一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？

答案： 思路导引 求扇形的面积和对应圆锥底面圆的直径是解题的关键.
解：设扇形的半径为R,小圆的半径为r.
(1)连接BC. 由勾股定理,得$AB = AC = R = \sqrt{2}$,$\therefore S_{扇形} = \frac{90\pi R^2}{360} = \frac{90\pi × (\sqrt{2})^2}{360} = \frac{1}{2}\pi$.
(2)连接AO并延长与BC和$\odot O$相交于点E,F,则$EF = AF - AE = 2 - \sqrt{2}$. $\widehat{BC} = \frac{n\pi R}{180} = \frac{90\pi × \sqrt{2}}{180} = \frac{\sqrt{2}}{2}\pi$. $\because 2\pi r = \frac{\sqrt{2}}{2}\pi$,$\therefore圆锥底面圆的直径为2r = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\because 2 - \sqrt{2} ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore$不能从第③块余料中剪下一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥.