《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

9. 已知函数$y = mx^2 - 6x + 1(m是常数)$。
(1)求证：不论$m$为何值,该函数的图象都经过$y$轴上的一个定点。
(2)若该函数的图象与$x$轴只有一个交点,求$m$的值。

答案： 【解析】：
(1) 要证明不论$m$为何值，该函数的图象都经过$y$轴上的一个定点，我们可以考虑当$x=0$时，$y$的值是多少。因为对于任何常数$m$，当$x=0$时，$y=m × 0^2 - 6 × 0 + 1 = 1$，所以该函数的图象都经过点$(0,1)$。
(2) 要使该函数的图象与$x$轴只有一个交点，即该函数对应的一元二次方程$mx^2 - 6x + 1 = 0$只有一个根。这有两种情况：一是$m=0$，此时方程退化为一次方程$-6x+1=0$，只有一个根；二是$m \neq 0$，此时需要判别式$\Delta = 0$，即$36 - 4m = 0$。
【答案】：
(1) 解：当$x = 0$时，$y = 1$。
所以不论$m$为何值，函数$y = mx^2 - 6x + 1$的图象都经过$y$轴上定点$(0,1)$。
(2) 解：当$m = 0$时，函数为$y = -6x + 1$，与$x$轴有一个交点。
当$m \neq 0$时，函数为二次函数，需要判别式$\Delta = 0$。
即：$b^2 - 4ac = 36 - 4m = 0$，
解得：$m = 9$。
所以，若该函数的图象与$x$轴只有一个交点，则$m$的值为$0$或$9$。

[例题1]已知二次函数$y= -x^2+2x+m$的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解为______$x_1 = -1$，$x_2 = 3$

答案： 思路导引 因为二次函数$y= -x^2+2x+$
m的图象与x轴交点的横坐标为方程$-x^2+2x +m= 0$的解. 由图可知,图象与x轴的一个交点的横坐标为3,结合对称轴x= 1,可知另
一个交点的横坐标为-1,即可求方程的解.
答案:x1= -1,x2= 3.

[例题2]如图,抛物线是二次函数y= $ax^2+bx+c(a≠0)$在直角坐标系中的图象,根据图象判断$:①c＞0;②a+b+c＜0;③2a-b＜0;④b^2+8a＞4ac.$其中正确的是______②④(填序号).

答案： ②④

1.二次函数$y= x^2-x-2$的图象如图所示,
则当函数值y＜0时,
x的取值范围是(C).

A.x＜-1

B.x＞2
C.-1＜x＜2
D.x＜-1或x＞2

答案： 【解析】：本题考查用二次函数图象求一元二次方程近似解的知识点。
对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c$，当$y = 0$时，就得到一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$。
在二次函数$y=x^{2}-x - 2$中，令$y = 0$，即$x^{2}-x - 2=0$。
对$x^{2}-x - 2$进行因式分解可得$(x - 2)(x+1)=0$，则$x - 2=0$或$x + 1=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
二次函数$y=x^{2}-x - 2$的图象是一个开口向上的抛物线（因为二次项系数$a = 1＞0$），从图象可以看出，当函数值$y＜0$时，即抛物线在$x$轴下方的部分，此时$x$的取值范围是在两个零点$-1$和$2$之间。
所以当函数值$y＜0$时，$x$的取值范围是$-1＜x＜2$。
【答案】：C。

2.小亮利用二次函数的图象求关于x的方程$ αx^2+bx+c= 0(a≠0)$的一个解的范围,为精确到0.01,进行了下面的试算,由此可确定这个解的范围是(B).
A.3.25＜x＜3.26
B.3.24＜x＜3.25
C.3.23＜x＜3.24
D.3＜x＜3.23

答案： 解：方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解是二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 x 轴交点的横坐标。
由表格数据可知：
当 $x = 3.24$ 时，$ax^2 + bx + c = -0.02$；
当 $x = 3.25$ 时，$ax^2 + bx + c = 0.03$。
因为函数值由负变为正，所以二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象在 $x = 3.24$ 和 $x = 3.25$ 之间与 x 轴有一个交点。
故方程的一个解的范围是 $3.24 ＜ x ＜ 3.25$。
答案：B