《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

11. (2021,广西贵港)已知在$\triangle ABC$中,O为边BC的中点,连接AO,将$\triangle AOC$绕点O顺时针旋转(旋转角为钝角),得到$\triangle EOF$,连接AE、CF。
(1) 如图①,当$\angle BAC= 90^\circ且AB= AC$时,则AE与CF满足的数量关系是______AE=CF。
(2) 如图②,当$\angle BAC= 90^\circ且AB \neq AC$时,(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由。


成立，证明过程如下：
因为O为BC中点，所以OB=OC。
又因为∠BAC=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OA=OB=OC。
由于△AOC绕点O顺时针旋转得到△EOF，所以OC=OF，OA=OE，∠AOC=∠EOF，进而∠AOE=∠COF。
在△AOE和△COF中，OA=OE，∠AOE=∠COF，OC=OF，根据SAS可得△AOE≌△COF，所以AE=CF。

答案： 【解析】：
本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质。
（1）因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$O$为$BC$中点，所以$AO\bot BC$，$AO = BO = CO$。
由于$\triangle AOC$绕点$O$顺时针旋转得到$\triangle EOF$，所以$OC = OF$，$OA = OE$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$OA = OE$，$\angle AOE=\angle COF$（旋转角相等），$OC = OF$，根据$SAS$（边角边）可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$AE = CF$。
（2）当$\angle BAC = 90^{\circ}$且$AB\neq AC$时，（1）中的结论仍然成立。
证明：
因为$O$为$BC$中点，所以$OB = OC$。
又因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OA = OB = OC$，所以$\angle B=\angle OAB$，$\angle C=\angle OAC$。
由于$\triangle AOC$绕点$O$顺时针旋转得到$\triangle EOF$，所以$OC = OF$，$OA = OE$，$\angle AOC=\angle EOF$，则$\angle AOE=\angle COF$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$OA = OE$，$\angle AOE=\angle COF$，$OC = OF$，根据$SAS$（边角边）可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$AE = CF$。
【答案】：
(1)$AE = CF$；
(2)成立，证明过程如上述。