《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题1】已知二次函数$y= ax^2(a\neq0)的图象经过点(-2,-3)$。
(1)求$a$的值,并写出这个二次函数的解析式。
(2)说出这个二次函数图象的顶点、对称轴和开口方向。

答案： 思路导引 二次函数$y= ax^2(a\neq0)的图象经过点(-2,-3)$,则可将点的坐标代入二次函数的解析式,求得待定系数$a$的值,即可求出这个二次函数图象的顶点、对称轴和开口方向。
解：
(1)将点$(-2,-3)代入二次函数y= ax^2(a\neq0)$。解得$a= -\frac{3}{4}$。$\therefore y= -\frac{3}{4}x^2$。
(2)顶点为$(0,0)$,对称轴为$x= 0$,开口向下。

【例题2】已知二次函数$y= mx^{m^2-2m-6}$,当$x＞0$时,$y随x$的增大而增大,则$m= $4。

答案： 思路导引 由题意,得$m^2-2m-6= 2且m\neq0$,解得$m= 4或m= -2$。但当$x＞0$时,$y随x$的增大而增大,就是说$m＞0$,故只取$m= 4$。
答案：4。

【例题3】已知$h关于t的函数解析式为h= \frac{1}{2}gt^2$($g$为正常数,$t$为时间),则其函数图象为(A)。

思路导引 因为$h= \frac{1}{2}gt^2中h是t$的二次函数,$g$,$t$,$h$都是非负数,所以该函数的图象是在第一象限的抛物线。
答案：A。

答案： 思路导引 因为$h= \frac{1}{2}gt^2中h是t$的二次函数,$g$,$t$,$h$都是非负数,所以该函数的图象是在第一象限的抛物线。
答案：A。

【例题4】如图,有一座抛物线形拱桥,水面在正常水位$AB时宽为20m$,水位上升$3m就达到警戒线CD$,这时水面宽为$10m$。
(1)建立恰当的直角坐标系,求抛物线对应的函数解析式。

(2)若洪水到来时水位以$0.2m/h$的速度上升,从正常水位开始,再过几小时就能到达桥面？

答案：
思路导引 建立恰当的直角坐标系,求出函数解析式是解答这类题的关键。

解：
(1)建立如图所示的直角坐标系,则点$D$的横坐标为5,点$B$的横坐标为10,$EF= 3$。
设$OE= h$,则$OF= h-3$。$B$,$D两点的坐标为B(10,-h)$,$D(5,3-h)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y= ax^2$,
则$\begin{cases}100a= -h,\\25a= 3-h.\end{cases} $
解得$\begin{cases}a= -\frac{1}{25},\\h= 4.\end{cases} $ $\therefore y= -\frac{1}{25}x^2$。
(2)$\because OE= 4$,$\therefore 4÷0.2= 20(h)$。
故再过$20h$就能到达桥面。

1.抛物线$y= -\frac{1}{3}x^2$不具有的性质是(C)。
A.开口向下
B.对称轴是$y$轴
C.与$y$轴不相交
D.最高点是坐标原点

答案： 【解析】：
首先，我们分析抛物线$y = -\frac{1}{3}x^2$的基本性质。
A. 开口向下：由于二次项系数$a = -\frac{1}{3} ＜ 0$，所以抛物线开口向下。此选项正确。
B. 对称轴是$y$轴：对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。在本题中，$b = 0$，$a = -\frac{1}{3}$，所以对称轴为$x = 0$，即$y$轴。此选项正确。
C. 与$y$轴不相交：当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{3} × 0^2 = 0$，所以抛物线与$y$轴的交点是原点，即相交。此选项错误。
D. 最高点是坐标原点：由于抛物线开口向下，且对称轴为$y$轴，所以抛物线的顶点（即最高点）是原点。此选项正确。
综上所述，抛物线$y = -\frac{1}{3}x^2$不具有的性质是与$y$轴不相交。
【答案】：
C

2.关于二次函数$y= -3x^2$,$y= -5x^2$的图象,开口较大的是$y = -3x^2$的图象,开口向下,对称轴是$y$轴（或直线$x = 0$）,顶点是原点（或$(0, 0)$）。

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y = ax^2$的图象和性质。
首先，二次函数的开口大小与二次项系数$a$的绝对值成反比，即$|a|$越大，开口越小；$|a|$越小，开口越大。
对于函数$y = -3x^2$和$y = -5x^2$，有$|-3| ＜ |-5|$，所以$y = -3x^2$的开口较大。
其次，二次函数的开口方向由二次项系数$a$的符号决定。当$a ＞ 0$时，开口向上；当$a ＜ 0$时，开口向下。
对于给定的两个函数，因为$-3 ＜ 0$且$-5 ＜ 0$，所以它们的开口都是向下。
再次，二次函数$y = ax^2$的对称轴总是$x = 0$（即$y$轴）。
最后，二次函数$y = ax^2$的顶点坐标总是$(0, 0)$。
【答案】：
开口较大的是$y = -3x^2$的图象；
开口向下；
对称轴是$y$轴（或直线$x = 0$）；
顶点是原点（或$(0, 0)$）。

3.已知函数$y= -\frac{3}{2}x^2$,不画图象,完成下列各题。
(1)开口向下。
(2)对称轴是$x = 0$（或 $y$轴）。
(3)顶点是$(0,0)$。
(4)当$x\geq0$时,$y随x$的增大而减小。
(5)当$x$$= 0$时,$y= 0$。
(6)当$x$$= 0$时,函数$y$的最大值是0。

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y = ax^2$的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性以及最值等。
(1) 对于二次函数$y = ax^2$，当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。由题知$a = -\frac{3}{2} ＜ 0$，所以开口向下。
(2) 对于二次函数$y = ax^2$，其对称轴总是$x = 0$（即y轴）。
(3) 对于二次函数$y = ax^2$，其顶点坐标总是$(0,0)$。
(4) 当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，因此在对称轴右侧（即$x \geq 0$），函数值$y$随$x$的增大而减小。
(5) 对于二次函数$y = ax^2$，其零点为$x = 0$（因为$y=0$时，$x^2=0$，解得$x=0$）。
(6) 当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，函数在对称轴$x=0$处取得最大值，该最大值为0（因为顶点坐标为$(0,0)$，且抛物线开口向下）。
【答案】：
(1) 下
(2) $x = 0$（或 $y$轴）
(3) $(0,0)$
(4) 减小
(5) $= 0$
(6) $= 0$；大；0