《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题1】已知一抛物线与$x轴相交于点A(-2, 0)$,$B(1, 0)$,且经过点$C(2, 8)$,求该抛物线对应的函数解析式。

答案： 思路导引：该抛物线经过$A$,$B$,$C$三点,可用一般式来求解。经过观察,又知$A$,$B两点是抛物线与x$轴的交点,故又可用交点式来求解。总之,用待定系数法求函数解析式,一定要根据题目特征灵活选用关系式。
解：方法一：设该抛物线对应的函数解析式为$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$。
由抛物线经过点$A(-2, 0)$,$B(1, 0)$,$C(2, 8)$,得$\begin{cases}4a - 2b + c = 0\\a + b + c = 0\\4a + 2b + c = 8\end{cases} $,解得$\begin{cases}a = 2\\b = 2\\c = -4\end{cases} $。
故该抛物线对应的函数解析式为$y = 2x^2 + 2x - 4$。
方法二：抛物线与$x轴交于点A(-2, 0)$,$B(1, 0)$,设$y = a(x + 2)(x - 1)(a \neq 0)$。
由抛物线经过点$C(2, 8)$,得$8 = a(2 + 2)(2 - 1)$。解得$a = 2$。
所以$y = 2(x + 2)(x - 1)$。
整理,得$y = 2x^2 + 2x - 4$。
故该抛物线对应的函数解析式为$y = 2x^2 + 2x - 4$。

【例题2】已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象如图所示,则下列结论中正确的是( D)。

A.$a ＞ 0$
B.$c ＜ 0$
C.$b^2 - 4ac ＜ 0$
D.$a + b + c ＞ 0$

答案： 思路导引：解答此类问题,要熟练掌握抛物线的开口方向、位置、对称轴、特殊值等,分析判断时一定要应用数形结合的思想,常用规律有：①$a$的正、负决定抛物线的开口方向：当$a ＞ 0$时,开口向上；当$a ＜ 0$时,开口向下。②$a$,$b$共同决定抛物线对称轴的位置：当$a$,$b$同号时,对称轴在$y$轴左侧；当$a$,$b$异号时,对称轴在$y$轴右侧；当$b = 0$时,对称轴为$y$轴。简记为“左同右异”。③$c决定抛物线与y$轴的交点位置：当$c ＞ 0$时,抛物线与$y$轴交于正半轴；当$c ＜ 0$时,抛物线与$y$轴交于负半轴；当$c = 0$时,抛物线过原点。④$b^2 - 4ac决定抛物线与x$轴的交点个数：当$b^2 - 4ac ＞ 0$时,抛物线与$x$轴有两个交点；当$b^2 - 4ac ＜ 0$时,抛物线与$x$轴没有交点；当$b^2 - 4ac = 0$时,抛物线与$x$轴有一个交点。⑤若抛物线经过点$(1, 0)$,则$a + b + c = 0$；若抛物线经过点$(-1, 0)$,则$a - b + c = 0$。
答案：D。

【例题3】某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内销售方案和国外销售方案两种方案中选择一种进行销售。若只在国内销售,销售价格$y$(单位：元/件)与月销量$x$(单位：件)之间的函数解析式为$y = -\frac{1}{100}x + 150$。成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元。设国内销售的月利润为$w_{内}$元(利润= 销售额-成本-广告费)。若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为$a$元/件($a$为常数,$10 \leq a \leq 40$),当月销量为$x$件时,每月还需缴纳$\frac{1}{100}x^2$元的附加费。设国外销售的月利润为$w_{外}$元(利润= 销售额-成本-附加费)。
(1)当$x = 1000$时,$y = $140元/件,$w_{内} = $57500元。
(2)分别求出$w_{内}$,$w_{外}与x$之间的函数解析式(不必写$x$的取值范围)。
解：$w_{内}=x(y - 20)-62500$
$=x\left(-\frac{1}{100}x + 150 - 20\right)-62500$
$=-\frac{1}{100}x^{2}+130x - 62500$
$w_{外}=x(150 - a)-\frac{1}{100}x^{2}$
$=-\frac{1}{100}x^{2}+(150 - a)x$
(3)当$x$为何值时,在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求$a$的值。
解：对于$w_{内}=-\frac{1}{100}x^{2}+130x - 62500$，$a=-\frac{1}{100}$，$b=130$
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{130}{2×(-\frac{1}{100})}=6500$
即当$x = 6500$时，$w_{内}$最大
$w_{内最大值}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4×(-\frac{1}{100})×(-62500)-130^{2}}{4×(-\frac{1}{100})}=422500$
对于$w_{外}=-\frac{1}{100}x^{2}+(150 - a)x$，$a=-\frac{1}{100}$，$b=(150 - a)$，$c = 0$
$w_{外最大值}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{0-(150 - a)^{2}}{4×(-\frac{1}{100})}=25(150 - a)^{2}$
由题意得$25(150 - a)^{2}=422500$
$(150 - a)^{2}=16900$
$150 - a=\pm130$
$a = 150\pm130$
$a_{1}=20$（舍去），$a_{2}=30$
即$a = 30$
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
解：当$x = 5000$时
$w_{内}=-\frac{1}{100}×5000^{2}+130×5000 - 62500=337500$
$w_{外}=-\frac{1}{100}×5000^{2}+(150 - a)×5000=-5000a + 500000$
当$w_{内}＞w_{外}$时，$337500＞-5000a + 500000$，$a＞32.5$
当$w_{内}=w_{外}$时，$337500=-5000a + 500000$，$a = 32.5$
当$w_{内}＜w_{外}$时，$337500＜-5000a + 500000$，$a＜32.5$
$\because10\leq a\leq40$
$\therefore$当$10\leq a＜32.5$时，选择国外销售；当$a = 32.5$时，国内外销售利润相同；当$32.5＜a\leq40$时，选择国内销售

答案： 思路导引：解答此类题的关键是建立二次函数的模型,基本思路为：①理解题意,列出函数解析式；②根据函数解析式,结合图象的性质求解；③检验结果的合理性,得出实际问题的答案。
解：
(1)140 57500
(2)$w_{内} = x(y - 20) - 62500 = -\frac{1}{100}x^2 + 130x - 62500$,$w_{外} = -\frac{1}{100}x^2 + (150 - a)x$。
(3)当$x = -\frac{130}{2 × (-\frac{1}{100})} = 6500$时,$w_{内}$最大。由题意,得$\frac{0 - (150 - a)^2}{4 × (-\frac{1}{100})} = \frac{4 × (-\frac{1}{100}) × (-62500) - 130^2}{4 × (-\frac{1}{100})}$。
解得$a_1 = 30$,$a_2 = 270$(不合题意,舍去)。因此$a = 30$。
(4)当$x = 5000$时,$w_{内} = 337500$,$w_{外} = -5000a + 500000$。
若$w_{内} ＜ w_{外}$,则$a ＜ 32.5$；
若$w_{内} = w_{外}$,则$a = 32.5$；
若$w_{内} ＞ w_{外}$,则$a ＞ 32.5$。
$\therefore当10 \leq a ＜ 32.5$时,选择在国外销售；
当$a = 32.5$时,在国外和国内销售都一样；
当$32.5 ＜ a \leq 40$时,选择在国内销售。