《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

8. 如图,已知抛物线$y = -x^2 + bx + c与x轴相交于A(-1, 0)$,$B(3, 0)$两点。

(1)求此抛物线和它的顶点。
(2)当$0 ＜ x ＜ 3$时,直接写出$y$的取值范围。
(3)点$P$为抛物线上一动点,若$S_{\triangle PAB} = 10$,求出此时点$P$的坐标。

答案： 【解析】：本题主要考查二次函数的性质、顶点坐标的求解、函数值的取值范围以及三角形面积的计算。
（1）已知抛物线$y = -x^2 + bx + c$与$x$轴相交于$A(-1, 0)$，$B(3, 0)$两点，
将这两点的坐标代入抛物线方程，得到方程组：
$\begin{cases}-(-1)^2 + b(-1) + c = 0,\\-3^2 + 3b + c = 0.\end{cases}$
即：
$\begin{cases}-1 - b + c = 0,\\-9 + 3b + c = 0.\end{cases}$
解这个方程组，从第一个方程得到$c = 1 + b$，代入第二个方程得：
$-9 + 3b + 1 + b = 0$，
$4b = 8$，
$b = 2$。
将$b = 2$代入$c = 1 + b$，得$c = 3$。
所以，抛物线的方程为$y = -x^2 + 2x + 3$。
抛物线的顶点坐标可以通过公式$-\frac{b}{2a}$求得$x$坐标，然后代入求得$y$坐标。
这里$a = -1$，$b = 2$，所以顶点的$x$坐标为$-\frac{2}{2(-1)} = 1$，
代入原方程得$y = -(1)^2 + 2(1) + 3 = 4$。
所以，顶点坐标为$(1, 4)$。
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,4)$，且抛物线开口向下，
所以当$0 \lt x \lt 3$时，$y$的最大值为顶点的$y$坐标，即$y = 4$。
当$x = 3$时，$y = -3^2 + 2× 3 + 3 = 0$，
所以在$0 \lt x \lt 3$的范围内，$y$的取值范围是$0 \lt y \leq 4$。
（3）设点$P$的坐标为$(x, y)$，
已知$A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，所以$AB = 3 - (-1) = 4$，
三角形$PAB$的面积为$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} × AB × |y| = 10$，
即$\frac{1}{2} × 4 × |y| = 10$，
解得$|y| = 5$，
所以$y = \pm 5$，
当$y = 5$时，代入$y = -x^2 + 2x + 3$，得到方程$-x^2 + 2x + 3 = 5$，
即$-x^2 + 2x - 2 = 0$，
此方程的判别式$\Delta = 2^2 - 4(-1)(-2) = 4 - 8 = -4 \lt 0$，
所以方程无实数解。
当$y = -5$时，代入$y = -x^2 + 2x + 3$，得到方程$-x^2 + 2x + 3 = -5$，
即$-x^2 + 2x + 8 = 0$，
解得$x = 4$或$x = -2$，
所以，点$P$的坐标为$(4, -5)$或$(-2, -5)$。
【答案】：
(1)抛物线方程：$y = -x^2 + 2x + 3$，顶点坐标：$(1, 4)$；
(2)$0 \lt y \leq 4$；
(3)点$P$的坐标为$(4, -5)$或$(-2, -5)$。

1. (2023,甘肃兰州)已知二次函数$y = -3(x - 2)^2 - 3$,下列说法中正确的是(C)。
A.对称轴为直线$x = -2$
B.顶点坐标为$(2, 3)$
C.函数的最大值是$-3$
D.函数的最小值是$-3$

答案： 【解析】：
首先，我们分析二次函数$y = -3(x - 2)^2 - 3$的形式，可以看出这是一个顶点式，其中顶点坐标为$(h, k) = (2, -3)$，对称轴为$x = h = 2$。
由于二次项系数$a = -3 ＜ 0$，所以该函数开口向下，有最大值，无最小值，且最大值就是顶点的$y$坐标，即$-3$。
接下来，我们逐一判断选项：
A. 对称轴为直线$x = -2$：错误，因为对称轴应为$x = 2$。
B. 顶点坐标为$(2, 3)$：错误，因为顶点坐标应为$(2, -3)$。
C. 函数的最大值是$-3$：正确，因为函数开口向下，顶点坐标的$y$坐标就是最大值，即$-3$。
D. 函数的最小值是$-3$：错误，因为函数开口向下，只有最大值，没有最小值。
【答案】：
C

2. (2023,广西)将抛物线$y = x^2$向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线是(A)。
A.$y = (x - 3)^2 + 4$
B.$y = (x + 3)^2 + 4$
C.$y = (x + 3)^2 - 4$
D.$y = (x - 3)^2 - 4$

答案： 解：抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”。
将抛物线$y = x^2$向右平移3个单位长度，得$y=(x - 3)^2$；
再向上平移4个单位长度，得$y=(x - 3)^2 + 4$。
答案：A

3. (2023,四川眉山)如图,二次函数$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1, 0)$,对称轴为直线$x = -1$。下列四个结论：①$abc ＜ 0$；②$4a - 2b + c ＜ 0$；③$3a + c = 0$；④当$-3 ＜ x ＜ 1$时,$ax^2 + bx + c ＜ 0$。其中正确的个数为(D)。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 【解析】：本题可根据二次函数的图象性质，结合对称轴、与$x$轴的交点等信息，逐一分析四个结论。
判断①$abc\lt0$是否正确：
由二次函数图象开口向上，根据二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$的性质可知$a\gt0$。
因为对称轴$x = -\frac{b}{2a}=-1\lt0$，且$a\gt0$，所以$b\gt0$。
又因为二次函数图象与$y$轴的交点在$y$轴负半轴，所以$c\lt0$。
由于$a\gt0$，$b\gt0$，$c\lt0$，则$abc\lt0$，故①正确。
判断②$4a - 2b + c\lt0$是否正确：
已知对称轴为直线$x = -1$，根据二次函数的对称性，二次函数图象与$x$轴的一个交点坐标为$(1, 0)$，那么与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3, 0)$。
当$x = -2$时，从图象上看，函数值$y = 4a - 2b + c$对应的点在$x$轴下方，即$y\lt0$，所以$4a - 2b + c\lt0$，故②正确。
判断③$3a + c = 0$是否正确：
因为对称轴$x = -\frac{b}{2a}=-1$，所以$b = 2a$。
把$x = 1$，$y = 0$代入$y = ax^2 + bx + c$得$a + b + c = 0$，将$b = 2a$代入$a + b + c = 0$中，可得$a + 2a + c = 0$，即$3a + c = 0$，故③正确。
判断④当$-3\lt x\lt1$时，$ax^2 + bx + c\lt0$是否正确：
由前面分析可知二次函数图象与$x$轴的交点坐标为$(-3, 0)$和$(1, 0)$，且图象开口向上，所以当$-3\lt x\lt1$时，函数图象在$x$轴下方，即$ax^2 + bx + c\lt0$，故④正确。
综上，①②③④都正确，正确的个数为$4$个，答案选D。
【答案】：D

4. (2023,广东)如图,抛物线$y = ax^2 + c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为(B)。
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4

答案： 解：设正方形OABC的边长为m，点O为坐标原点(0,0)。
∵四边形OABC是正方形，点B在y轴上，抛物线y=ax²+c关于y轴对称，
∴点A、C关于y轴对称。设点A坐标为(m, m)，则点C坐标为(-m, m)，点B坐标为(0, √2m)（根据正方形对角线性质，OB为对角线，长度为√2m）。
∵抛物线经过点O(0,0)，代入得0=a·0²+c，
∴c=0。
又
∵抛物线经过点A(m, m)，代入得m=a·m²+0，即am²=m。
∵m≠0，
∴a=1/m。
∵抛物线经过点B(0, √2m)，但c=0，点B纵坐标应为√2m，而抛物线在x=0时y=c=0，矛盾。重新考虑：正方形边长为t，点B在y轴，OA=AB=t，OA在第一象限，设A(t, 0)错误，应为A(t, t)，O(0,0)，则B(0, t)（OB=AB=t，OB垂直AB），此时B(0, t)，A(t, t)，O(0,0)。
抛物线过O(0,0)，c=0；过A(t, t)：t=a·t²，a=1/t；过B(0, t)：t=a·0²+c，即t=c，
∴c=t。
则a=1/t，c=t，ac=1/t · t=1，不符选项。再次正确分析：OABC是正方形，O为原点，顺序为O-A-B-C-O，
∴OA⊥AB，OA在x轴正半轴，A(a,0)，AB⊥OA，AB在y轴方向，B(a,a)，BC⊥AB，C(0,a)，B在y轴上，则a=0，矛盾。
正确图形：O在原点，B在y轴正半轴，抛物线开口向下，过O、A、B、C。设正方形边长为k，A(k, k)，C(-k, k)，O(0,0)，B(0, 2k)（OB=OA+AB在y轴，OA=k，AB=k，OB=2k）。
抛物线过O(0,0)：c=0；过A(k,k)：k=a·k²，a=1/k；过B(0,2k)：2k=a·0²+c=0，矛盾。抛物线过B(0,2k)，则c=2k；过O(0,0)：0=0+c，c=0，2k=0，k=0，错误。
最终正确设法：抛物线y=ax²+c与y轴交于B点，B(0, c)，c＞0，开口向下a＜0。过O(0,0)，则0=0+c，c=0，矛盾，故O不是原点？题目说“经过正方形OABC的三个顶点A,B,C”，O是正方形顶点，
∴O在抛物线上，O(0,0)，则0=0+c，c=0，抛物线y=ax²。
正方形OABC，三个顶点A、B、C在抛物线上，O(0,0)。设A(m, am²)，B(n, an²)，C(p, ap²)，OABC为正方形，OA=AB=BC=CO，OA⊥AB。
设OA在第一象限，A(m, am²)，m＞0，am²＞0，a＞0开口向上，但选项ac为负，a＜0，
∴am²＜0，A(m, am²)在第四象限，m＞0，am²＜0，a＜0。
设A(t, at²)，t＞0，at²＜0，OA=√(t² + (at²)²)，OC与OA垂直且相等，C(at², -t)（旋转90°），C在抛物线上：-t=a(at²)²=a³t⁴，即a³t⁴=-t，a³t³=-1（t≠0）。
B为A+C点（向量OA+OC=OB），B(t + at², at² - t)，B在抛物线上：at² - t = a(t + at²)²。
由a³t³=-1，设s=at²，则a³t³=a²·at³=a²·s·t=-1，由A(t, s)，s=at²。
C(s, -t)在抛物线上：-t=a·s²。
B(t+s, s - t)在抛物线上：s - t = a(t + s)²。
由s=at²，-t=a s²，
∴-t=a(at²)²=a³t⁴，a³t³=-1（同前），令t=1，则a³=-1，a=-1，s=at²=-1，C(s, -t)=(-1, -1)。
B(t+s, s - t)=(1-1, -1 -1)=(0, -2)，B在抛物线上：-2=a·0² + c，c=-2，但O(0,0)在抛物线上，0=a·0 + c，c=0，矛盾。
重新：抛物线过O(0,0)、A(1, -1)、B(0, -2)、C(-1, -1)，OABC是正方形，OA=√(1+1)=√2，AB=√(1+1)=√2，BC=√(1+1)=√2，CO=√(1+1)=√2，且OA⊥AB，是正方形。此时抛物线y=ax²+c过O(0,0)：c=0；过A(1,-1)：-1=a·1²，a=-1；过B(0,-2)：-2=0 + c，c=-2，矛盾，因O和B都在抛物线上，O(0,0)得c=0，B(0,-2)得c=-2，故O不是(0,0)，而是抛物线过A、B、C，O是第四个顶点，题目说“经过三个顶点A,B,C”，O不在抛物线上。
设O(0,0)，A(m,0)，B(m,n)，C(0,n)，正方形OABC，m=n＞0，B(m,m)，抛物线过A(m,0)、B(m,m)、C(0,m)。
抛物线y=ax²+c过C(0,m)：m=c；过A(m,0)：0=a m² + m，a=-m/m²=-1/m；过B(m,m)：m=a m² + m，即0=a m²，a=0，矛盾。
正确答案：设正方形边长为1，A(1,1)，C(-1,1)，B(0,2)，抛物线过这三点。过B(0,2)：2=c；过A(1,1)：1=a·1 + 2，a=-1；过C(-1,1)：1=a·1 + 2，a=-1，成立。此时a=-1，c=2，ac=-2。
解：设正方形边长为1，点A(1,1)，C(-1,1)，B(0,2)。
∵抛物线y=ax²+c过点B(0,2)，
∴c=2。
过点A(1,1)：1=a·1²+2，解得a=-1。
∴ac=(-1)×2=-2。
答案：B

5. (2023,山东泰安)二次函数$y = -x^2 - 3x + 4$的最大值是$\frac{25}{4}$。

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是如何找到二次函数的最大值或最小值。
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a})$。
当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的$y$坐标。
在本题中，二次函数为$y = -x^2 - 3x + 4$，其中$a = -1, b = -3, c = 4$。
因为$a ＜ 0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值。
最大值出现在顶点处，顶点的$x$坐标为$-\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2}$。
将$x = -\frac{3}{2}$代入原函数，得到顶点的$y$坐标，即函数的最大值。
【答案】：
解：原函数为$y = -x^2 - 3x + 4$。
通过配方，我们可以将其转化为顶点式：
$y = -x^2 - 3x + 4 = - (x^2 + 3x) + 4 = - (x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 4 = - (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 4 = - (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$
由于抛物线的开口向下（因为$a = -1 ＜ 0$），所以函数的最大值为顶点的$y$坐标，即$\frac{25}{4}$，也可以写成$6.25$（但题目要求整数或分数形式，所以应写为$\frac{25}{4}$）。
故答案为：$\frac{25}{4}$。

6. (2023,湖南郴州)抛物线$y = x^2 - 6x + c与x$轴只有一个交点,则$c = $9。

答案： 解：抛物线$y=x^2 - 6x + c$与$x$轴只有一个交点，
则一元二次方程$x^2 - 6x + c = 0$有两个相等的实数根，
所以判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×c = 0$，
即$36 - 4c = 0$，
解得$c = 9$。
$9$