《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

1. 抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2}$与抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2$的共同点是().

A.顶点相同
B.对称轴相同
C.开口方向相同
D.顶点都在$x$轴上

答案： B

2. 已知点$A(-1, y_{1})$，点$B(2, y_{2})$都在抛物线$y = -3x^{2} + 2$上，则$y_{1}$和$y_{2}$的大小关系是().

A.$y_{1} ＞ y_{2}$
B.$y_{1} ＜ y_{2}$
C.$y_{1} = y_{2}$
D.无法判断

答案： 1. 首先，将点$A(-1,y_{1})$代入抛物线$y = -3x^{2}+2$：
当$x=-1$时，根据$y=-3x^{2}+2$，可得$y_{1}=-3×(-1)^{2}+2$。
计算$-3×(-1)^{2}+2$：
先算指数运算$(-1)^{2}=1$，再算乘法$-3×1=-3$，最后算加法$y_{1}=-3 + 2=-1$。
2. 然后，将点$B(2,y_{2})$代入抛物线$y=-3x^{2}+2$：
当$x = 2$时，根据$y=-3x^{2}+2$，可得$y_{2}=-3×2^{2}+2$。
计算$-3×2^{2}+2$：
先算指数运算$2^{2}=4$，再算乘法$-3×4=-12$，最后算加法$y_{2}=-12 + 2=-10$。
3. 最后，比较$y_{1}$和$y_{2}$的大小：
因为$-1\gt - 10$，即$y_{1}\gt y_{2}$。
所以$y_{1}$和$y_{2}$的大小关系是$y_{1}\gt y_{2}$，答案是A。

3. 将抛物线$y = ax^{2} + c$向下平移$2$个单位长度得到抛物线$y = -3x^{2} + 2$，则$a =$，$c =$.

答案： 1. 首先明确抛物线平移规律：
对于抛物线$y = f(x)$，向下平移$m(m\gt0)$个单位长度，得到的抛物线解析式为$y=f(x)-m$。
已知抛物线$y = ax^{2}+c$向下平移$2$个单位长度得到$y=-3x^{2}+2$。
根据平移规律，$y = ax^{2}+c - 2$。
2. 然后对比系数：
因为$y = ax^{2}+c - 2$与$y=-3x^{2}+2$是同一个抛物线的解析式，根据二次函数$y = Ax^{2}+Bx + C$（这里$B = 0$）中对应系数相等的原则。
对于二次项系数：
可得$a=-3$。
对于常数项：
由$c - 2=2$。
解方程$c - 2=2$，根据等式的性质，在等式两边同时加$2$，即$c=2 + 2$。
所以$a=-3$，$c = 4$。
故答案依次为：$-3$；$4$。

4. 已知抛物线$y = x^{2} - 4$与$x$轴交于$B$，$C$两点，顶点为$A$，则$\triangle ABC$的周长为.

答案： 1. 首先求$B$、$C$两点坐标：
令$y = 0$，则$x^{2}-4 = 0$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a=x$，$b = 2$，所以$(x + 2)(x - 2)=0$。
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$，所以$B(-2,0)$，$C(2,0)$，则$\vert BC\vert=\vert2-(-2)\vert = 4$。
2. 然后求顶点$A$的坐标：
对于抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对于$y=x^{2}-4$，其中$a = 1$，$b = 0$，$c=-4$。
则$x=-\frac{0}{2×1}=0$，$y=\frac{4×1×(-4)-0^{2}}{4×1}=-4$，所以$A(0,-4)$。
3. 接着求$\vert AB\vert$和$\vert AC\vert$的长度：
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$，对于$A(0,-4)$，$B(-2,0)$，则$\vert AB\vert=\sqrt{(-2 - 0)^{2}+(0 + 4)^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
同理，对于$A(0,-4)$，$C(2,0)$，$\vert AC\vert=\sqrt{(2 - 0)^{2}+(0 + 4)^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
4. 最后求$\triangle ABC$的周长$C$：
$C=\vert AB\vert+\vert AC\vert+\vert BC\vert$。
把$\vert AB\vert = 2\sqrt{5}$，$\vert AC\vert = 2\sqrt{5}$，$\vert BC\vert = 4$代入得$C=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+4=4 + 4\sqrt{5}$。
故$\triangle ABC$的周长为$4 + 4\sqrt{5}$。

5. 抛物线$y = -x^{2} + h$的顶点为$(0, 2)$，则$h =$.抛物线$y = 4x^{2} - 1$与$y$轴的交点坐标为，与$x$轴的交点坐标为.

答案： 1. 求$h$的值：
对于抛物线$y = ax^{2}+k$（$a\neq0$），其顶点坐标为$(0,k)$。
已知抛物线$y=-x^{2}+h$的顶点为$(0,2)$，根据$y = ax^{2}+k$（这里$a=-1$，$k = h$）的顶点坐标公式，可得$h = 2$。
2. 求抛物线$y = 4x^{2}-1$与$y$轴的交点坐标：
令$x = 0$，代入$y = 4x^{2}-1$，则$y=4×0^{2}-1=-1$。
所以抛物线$y = 4x^{2}-1$与$y$轴的交点坐标为$(0,-1)$。
3. 求抛物线$y = 4x^{2}-1$与$x$轴的交点坐标：
令$y = 0$，即$4x^{2}-1 = 0$。
移项可得$4x^{2}=1$，则$x^{2}=\frac{1}{4}$。
解得$x=\pm\frac{1}{2}$。
当$x=\frac{1}{2}$时，$y = 0$；当$x=-\frac{1}{2}$时，$y = 0$。
所以$h = 2$；抛物线$y = 4x^{2}-1$与$y$轴的交点坐标为$(0,-1)$，与$x$轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0)$和$(-\frac{1}{2},0)$。
故答案依次为：$2$；$(0,-1)$；$(\frac{1}{2},0)$，$(-\frac{1}{2},0)$。

6. 二次函数$y = ax^{2} + c(a \neq 0)$的图象经过点$A(1, -1)$，$B(2, 5)$，
(1)求该二次函数的解析式.
(2)若点$C(-2, m)$，$D(n, 7)$也在函数的图象上，求点$C$和点$D$的坐标.

答案： $(1)$求二次函数的解析式
解：已知二次函数$y = ax^{2}+c(a\neq0)$的图象经过点$A(1, - 1)$，$B(2,5)$。
将点$A(1, - 1)$代入$y = ax^{2}+c$可得：$-1=a×1^{2}+c$，即$a + c=-1$ $①$；
将点$B(2,5)$代入$y = ax^{2}+c$可得：$5=a×2^{2}+c$，即$4a + c=5$ $②$。
用$② - ①$消去$c$：
$\begin{aligned}(4a + c)-(a + c)&=5-(-1)\\4a + c - a - c&=6\\3a&=6\\a&=2\end{aligned}$
把$a = 2$代入$①$式：$2 + c=-1$，解得$c=-3$。
所以该二次函数的解析式为$y = 2x^{2}-3$。
$(2)$求点$C$和点$D$的坐标
求点$C$的坐标：
已知点$C(-2,m)$在函数$y = 2x^{2}-3$的图象上，将$x=-2$代入$y = 2x^{2}-3$得：
$m=2×(-2)^{2}-3=2×4 - 3=8 - 3=5$，所以点$C$的坐标为$(-2,5)$。
求点$D$的坐标：
已知点$D(n,7)$在函数$y = 2x^{2}-3$的图象上，将$y = 7$代入$y = 2x^{2}-3$得：
$7=2n^{2}-3$，移项可得$2n^{2}=7 + 3=10$，两边同时除以$2$得$n^{2}=5$，解得$n=\pm\sqrt{5}$，所以点$D$的坐标为$(\sqrt{5},7)$或$(-\sqrt{5},7)$。
综上，$(1)$二次函数解析式为$\boldsymbol{y = 2x^{2}-3}$；$(2)$点$C$坐标为$\boldsymbol{(-2,5)}$，点$D$坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{5},7)}$或$\boldsymbol{(-\sqrt{5},7)}$。

7. 已知直线$y = 2x$与抛物线$y = ax^{2} + 3$相交于点$(2, b)$.
(1) 求$a$，$b$的值.
(2) 若直线$y = 2x$上纵坐标为$2$的点为$A$，抛物线$y = ax^{2} + 3$的顶点为$B$，求$\triangle AOB$的面积$S_{\triangle AOB}$.

答案： $(1)$ 求$a$，$b$的值
- 步骤一：求$b$的值
已知直线$y = 2x$过点$(2,b)$，将$x = 2$代入直线方程$y = 2x$中，根据代入法可得：
$b=2×2 = 4$
- 步骤二：求$a$的值
因为点$(2,4)$在抛物线$y = ax^{2}+3$上，将$x = 2$，$y = 4$代入抛物线方程$y = ax^{2}+3$中，得到：
$4=a×2^{2}+3$
即$4 = 4a+3$，移项可得$4a=4 - 3$，也就是$4a = 1$，解得$a=\frac{1}{4}$。
$(2)$ 求$\triangle AOB$的面积$S_{\triangle AOB}$
- 步骤一：求点$A$的坐标
已知直线$y = 2x$上纵坐标为$2$，将$y = 2$代入$y = 2x$，可得$2 = 2x$，解得$x = 1$，所以$A(1,2)$。
- 步骤二：求抛物线$y = ax^{2}+3$的顶点$B$的坐标
由$(1)$知$a=\frac{1}{4}$，则抛物线方程为$y=\frac{1}{4}x^{2}+3$。
对于抛物线$y = mx^{2}+n$（$m\neq0$），其顶点坐标为$(0,n)$，所以抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}+3$的顶点$B$的坐标为$(0,3)$。
- 步骤三：求$\triangle AOB$的面积
对于$\triangle AOB$，以$OB$为底边，$A$点横坐标的绝对值为高。
由$B(0,3)$可知$OB = 3$，$A$点横坐标为$1$，则$\triangle AOB$的高$h=\vert1\vert = 1$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OB×\vert x_{A}\vert$（$x_{A}$为$A$点横坐标）。
将$OB = 3$，$\vert x_{A}\vert = 1$代入可得：$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{a=\frac{1}{4}}$，$\boldsymbol{b = 4}$；$(2)$$\boldsymbol{S_{\triangle AOB}=\frac{3}{2}}$。