《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

*9. 已知关于$x的方程(m^{2}-1)x^{2}-(m + 1)x+m= 0$,完成下列各题.
(1) 当$m$为何值时,此方程是一元一次方程？
(2) 当$m$为何值时,此方程是一元二次方程？写出此一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元一次方程和一元二次方程的定义及识别。
(1) 要使方程成为一元一次方程，需要满足两个条件：一是二次项系数为0，即 $m^{2} - 1 = 0$；二是一次项系数不为0，即 $m + 1 \neq 0$。
解这两个方程，得到 $m$ 的取值。
(2) 要使方程成为一元二次方程，需要满足二次项系数不为0，即 $m^{2} - 1 \neq 0$。
解这个不等式，得到 $m$ 的取值范围，并确定二次项系数、一次项系数和常数项。
【答案】：
(1) 解：
由 $m^{2} - 1 = 0$，解得 $m = \pm 1$。
但由 $m + 1 \neq 0$，解得 $m \neq -1$。
综上，$m = 1$。
所以当 $m = 1$ 时，此方程是一元一次方程。
(2) 解：
由 $m^{2} - 1 \neq 0$，解得 $m \neq \pm 1$。
所以，当 $m \neq \pm 1$ 时，此方程是一元二次方程。
此时，二次项系数为 $m^{2} - 1$，一次项系数为 $-(m + 1)$，常数项为 $m$。

【例题1】方程$x^2 - 2 = x$的根是(B).
A. $x = -1$
B. $x_1 = -1, x_2 = 2$
C. $x = 2$
D. $x_1 = 1, x_2 = -2$
思路导引 由根的定义,把$x = -1, x = 1, x = 2, x = -2$分别代入方程,看方程左右两边是否相等.
答案：B.
A.$x = -1$
B.$x_1 = -1, x_2 = 2$
C.$x = 2$
D.$x_1 = 1, x_2 = -2$

答案： 思路导引 由根的定义,把$x = -1, x = 1, x = 2, x = -2$分别代入方程,看方程左右两边是否相等.
答案：B.

【例题2】若关于$x的一元二次方程(m - 1)x^2 + 2x + m^2 - 1 = 0$的一个解为0,则$m$的值是多少?

答案： 思路导引 利用方程的解的定义,把$x$的值代入原方程,可将关于$x的方程转化为关于m$的方程,进而求出$m$的值,但求解过程要考虑一元二次方程的定义.
解：由题意,得$\begin{cases}m^2 - 1 = 0, \\m - 1 \neq 0.\end{cases} 解得m = -1$.
即当$m = -1$时,$(m - 1)x^2 + 2x + m^2 - 1 = 0$的一个解为0.

1. 在数1, 2, 3, 4中,是方程$x^2 + x - 12 = 0$的根的是(C).
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的求解以及方程的根的判断。
首先，我们解方程$x^2 + x - 12 = 0$。
这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或者使用求根公式来解。
这里，我们选择因式分解法。
将方程$x^2 + x - 12 = 0$因式分解为：
$(x - 3)(x + 4) = 0$
由此得到方程的两个
$x_1 = 3, \quad x_2 = -4$
然后，我们需要判断在数1, 2, 3, 4中，哪些是该方程的根。
通过对比，我们可以发现只有$x = 3$是该方程的一个根（因为$x = -4$不在给定的数集中）。
所以此题选择项为C。
【答案】：
C

2. 如果非零实数$a, b, c满足a + b - c = 0$,那么有一个根是1的方程是(C).
A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$ax^2 - bx + c = 0$
C.$ax^2 + bx - c = 0$
D.$ax^2 - bx - c = 0$

答案： 解：将$x = 1$代入各选项方程：
选项A：$a×1^2 + b×1 + c = a + b + c$，由$a + b - c = 0$得$a + b = c$，则$a + b + c = 2c$，因$c≠0$，故$2c≠0$，不是方程的根。
选项B：$a×1^2 - b×1 + c = a - b + c$，由$a + b = c$得$a - b + c = a - b + a + b = 2a$，因$a≠0$，故$2a≠0$，不是方程的根。
选项C：$a×1^2 + b×1 - c = a + b - c$，由已知$a + b - c = 0$，故$a + b - c = 0$，是方程的根。
选项D：$a×1^2 - b×1 - c = a - b - c$，由$a + b = c$得$a - b - c = a - b - (a + b) = -2b$，因$b≠0$，故$-2b≠0$，不是方程的根。
答案：C

3. 若关于$x的一元二次方程x^2 - x + m - 2 = 0$的一个根为0,则$m$的值为2.

答案： 解：因为方程$x^2 - x + m - 2 = 0$的一个根为$0$，
将$x = 0$代入方程得：$0^2 - 0 + m - 2 = 0$，
即$m - 2 = 0$，
解得$m = 2$。
2

4. 若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$有一个根为1,则$a + b + c = $0; 若有一个根为 -1,则$b与a, c$之间的关系为$b = a + c$; 若有一个根为0,则$c = $0.

答案： 解：当方程有一个根为1时，将$x = 1$代入方程$ax^2 + bx + c = 0$，得$a×1^2 + b×1 + c = 0$，即$a + b + c = 0$；
当方程有一个根为$-1$时，将$x = -1$代入方程$ax^2 + bx + c = 0$，得$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$，即$a - b + c = 0$，整理得$b = a + c$；
当方程有一个根为0时，将$x = 0$代入方程$ax^2 + bx + c = 0$，得$a×0^2 + b×0 + c = 0$，即$c = 0$。
$0$；$b = a + c$；$0$

1. 若$a为关于x的一元二次方程x^2 + x - 5 = 0$的一个根,则$a^2 + a + 1$的值为(D).
A.12
B.10
C.9
D.6

答案： 解：因为$a$是方程$x^2 + x - 5 = 0$的一个根，所以将$x = a$代入方程得$a^2 + a - 5 = 0$，即$a^2 + a = 5$。则$a^2 + a + 1 = 5 + 1 = 6$。
D