《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题2】已知$(x^2+y^2)(x^2+y^2-2)= 3$,求$x^2+y^2$的值.

答案： 思路导引 如果将$x^2+y^2$视为一个整体,那么已知方程可以转化成一个一元二次方程的形式,用因式分解法可以解这个一元二次方程.
解：设$x^2+y^2= m$,则原方程可化为$m(m-2)= 3$. 整理,得$m^2-2m-3= 0$.
$\therefore (m-3)(m+1)= 0$.
$\therefore m_1= 3$,$m_2= -1$.
$\because m= x^2+y^2\geq0$,
$\therefore m_2= -1$不合题意,舍去.
$\therefore x^2+y^2$的值为3.

1. 方程$x(x+2)= 0$的根是(C).
A.$x= 0$
B.$x= -2$
C.$x_1= 0$,$x_2= -2$
D.$x_1= 2$,$x_2= -2$

答案： 【解析】：
本题考察的是一元二次方程的因式分解法。
给定方程为 $x(x+2)= 0$，这是一个已经通过因式分解得到的一元二次方程。
根据因式分解法，若 $a \cdot b = 0$，则 $a = 0$ 或 $b = 0$。
应用这一性质，我们有：
$x = 0$ 或 $x + 2 = 0$，
解得：
$x_1 = 0$，$x_2 = -2$。
【答案】：
C. $x_1= 0$，$x_2= -2$。

2. 方程$x^2-2x= 0$的根是(D).
A.$x= 2$
B.$x= 0$
C.$x_1= -2$,$x_2= 0$
D.$x_1= 2$,$x_2= 0$

答案： 解：$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
答案：D

3. 一元二次方程$x(x-2)= 2-x$的根是$x_1=2$，$x_2=-1$.

答案： 解：$x(x-2)=2-x$
移项，得$x(x-2)+(x-2)=0$
因式分解，得$(x-2)(x+1)=0$
则$x-2=0$或$x+1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$
根是$x_1=2$，$x_2=-1$

4. 有一组方程：①$3x^2-12x= 0$；②$x(x-2)= 3x+6$；③$x^2-x-3= 0$；④$(x-3)(x+2)= 1$. 其中适合用因式分解法来解的是①②(填序号).

答案： ①②

5. 用因式分解法解下列方程.
(1)$x^2-6x+8= 0$.
(2)$3x(x-2)= 2(x-2)$.

答案：
(1)解：$x^2 - 6x + 8 = 0$
$(x - 2)(x - 4) = 0$
$x - 2 = 0$或$x - 4 = 0$
$x_1 = 2$，$x_2 = 4$
(2)解：$3x(x - 2) = 2(x - 2)$
$3x(x - 2) - 2(x - 2) = 0$
$(x - 2)(3x - 2) = 0$
$x - 2 = 0$或$3x - 2 = 0$
$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{2}{3}$

1. 已知某一元二次方程的两个根分别为$x_1= 3$,$x_2= 4$,则这个方程可能是(D).
A.$(x-3)(x+4)= 0$
B.$(x+3)(x-4)= 0$
C.$(x+3)(x+4)= 0$
D.$(x-3)(x-4)= 0$

答案： 【解析】：
题目考察了一元二次方程的因式分解法。
如果一个一元二次方程的两个根为$x_1$和$x_2$，那么这个方程可以表示为：$(x-x_1)(x-x_2)=0$。
根据题目给出的两个根$x_1=3$和$x_2=4$，我们可以代入上述公式得到：$(x-3)(x-4)=0$。
与选项进行对比，可以确定答案为D。
【答案】：
D.$(x-3)(x-4)= 0$。

2. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程$x^2-6x+8= 0$的两个根,则该等腰三角形的周长是(B).
A.4.8
B.10
C.12
D.8或10

答案： 解：解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 4) = 0$，则$x - 2 = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$。
情况一：若等腰三角形的腰长为$2$，底边长为$4$。因为$2 + 2 = 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立。
情况二：若等腰三角形的腰长为$4$，底边长为$2$。因为$4 + 2 ＞ 4$，$4 + 4 ＞ 2$，满足三角形三边关系，此时周长为$4 + 4 + 2 = 10$。
综上，该等腰三角形的周长是$10$。
答案：B

3. 方程$2x(x-3)= 7(3-x)$的根是$x_1=3$，$x_2=-\dfrac{7}{2}$.

答案： 解：$2x(x-3)=7(3-x)$
移项，得$2x(x-3)+7(x-3)=0$
因式分解，得$(x-3)(2x+7)=0$
则$x-3=0$或$2x+7=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-\dfrac{7}{2}$
根是$x_1=3$，$x_2=-\dfrac{7}{2}$

4. 定义新运算：对于任意实数$a$,$b$,都有$a\oplus b= a^2-2ab$,其中等号右边是通常的减法及乘法运算. 如$1\oplus 1= 1^2-2×1×1= -1$. 嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：$x\oplus (-3)= -5$,其中$x$的值为$-1$或$-5$.

答案： 解：由题意得，$x\oplus (-3)=x^2 - 2x×(-3)=x^2 + 6x$。
因为$x\oplus (-3)= -5$，所以$x^2 + 6x = -5$，即$x^2 + 6x + 5 = 0$。
因式分解得$(x + 1)(x + 5)=0$，则$x + 1 = 0$或$x + 5 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = -5$。
故$x$的值为$-1$或$-5$。

5. 在实数范围内定义一种运算“$*$”,其规则为$a*b= a(a-b)$. 根据这个规则,方程$(x+2)*5= 0$的解为$x_1 = -2$，$x_2 = 3$.

答案： 解：根据运算规则$a*b = a(a - b)$，对于方程$(x + 2)*5 = 0$，可得：
$(x + 2)[(x + 2) - 5] = 0$
化简得：$(x + 2)(x - 3) = 0$
则$x + 2 = 0$或$x - 3 = 0$
解得$x_1 = -2$，$x_2 = 3$
$x_1 = -2$，$x_2 = 3$

6. 用因式分解法解下列方程.
(1)$2(x-3)^2= x^2-9$.
(2)$(2x+3)^2= (3x+2)^2$

答案：
(1)解：$2(x-3)^2 = x^2 - 9$
$2(x-3)^2 - (x^2 - 9) = 0$
$2(x-3)^2 - (x-3)(x+3) = 0$
$(x-3)[2(x-3) - (x+3)] = 0$
$(x-3)(2x - 6 - x - 3) = 0$
$(x-3)(x - 9) = 0$
$x-3 = 0$ 或 $x-9 = 0$
$x_1 = 3$，$x_2 = 9$
(2)解：$(2x+3)^2 = (3x+2)^2$
$(2x+3)^2 - (3x+2)^2 = 0$
$[(2x+3) - (3x+2)][(2x+3) + (3x+2)] = 0$
$(-x + 1)(5x + 5) = 0$
$-x + 1 = 0$ 或 $5x + 5 = 0$
$x_1 = 1$，$x_2 = -1$

7. 已知关于$x的方程x^2+mx-3= 0的一个根是x_1= -1$,求它的另一个根和$m$的值.

答案： 解：设方程的另一个根为$x_2$。
因为$x_1 = -1$是方程$x^2 + mx - 3 = 0$的根，将$x_1 = -1$代入方程得：
$(-1)^2 + m×(-1) - 3 = 0$
$1 - m - 3 = 0$
$-m - 2 = 0$
解得$m = -2$。
由韦达定理得$x_1x_2 = -3$，即$-1× x_2 = -3$，解得$x_2 = 3$。
所以，方程的另一个根是$3$，$m$的值是$-2$。