《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

【例题1】在排球比赛中,一队员站在边线发球,球位于边线正上方,球的水平前进方向与边线垂直. 球开始飞行时距地面1.9 m,当球飞行的水平距离为9 m时达到最大高度5.5 m,球的飞行轨迹为一条抛物线,如图. 已知球场长18 m,则该队员这样发球是否会直接把球打出边线？

答案：
思路导引 先建立直角坐标系,根据已知条件求出抛物线的关系式,再求抛物线与x轴的交点坐标(横坐标为正). 若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.
解：如图,以球的正下方在边线上的投影位置为原点,球运动的水平方向为x轴,建立直角坐标系.

由二次函数图象的顶点为(9, 5.5),可设二次函数的解析式为$y = a(x - 9)^2 + 5.5$ $(a ≠ 0)$. 由已知可得,这个函数的图象经过点(0, 1.9),则$1.9 = a(0 - 9)^2 + 5.5$.
解得$a = -\frac{2}{45}$.
∴该二次函数的解析式为$y = -\frac{2}{45}(x - 9)^2 + 5.5$.
∵球落在x轴上,
∴$-\frac{2}{45}(x - 9)^2 + 5.5 = 0$.
解得$x_1 = 9 + \frac{3\sqrt{55}}{2} ≈ 20.1$,$x_2 = 9 - \frac{3\sqrt{55}}{2}$(不合题意,舍去).
∴球约在20.1 m远处落下.
∵20.1 ＞ 18,
∴该队员这样发球会直接把球打出边线.

【例题2】如图,某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物,大门地面宽AB = 4 m,顶部C离地面的高度为4.4 m. 现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8 m,装货宽度为2.4 m. 请判断这辆汽车能否顺利通过大门.

答案：
思路导引 建立适当的直角坐标系可以简化解题步骤. 先建立直角坐标系,根据已知条件求出抛物线的解析式,再求抛物线上纵坐标为2.8的两点之间的距离. 若这个距离大于汽车装货宽度,就可判断汽车能顺利通过大门.
解：如图,以大门地面的中点为原点,大门地面为x轴,建立直角坐标系. 根据对称性,设二次函数的解析式为$y = a(x + 2)(x - 2)$ $(a ≠ 0)$.

由已知可得,这个函数的图象经过点(0, 4.4),则$4.4 = a(0 + 2)(0 - 2)$.
解得$a = -1.1$.
∴该二次函数的解析式为$y = -1.1x^2 + 4.4$.
当$y = 2.8$时,有$-1.1x^2 + 4.4 = 2.8$.
解得$x_1 ≈ 1.21$,$x_2 ≈ -1.21$.
∵$2 × 1.21 ＞ 2.4$,
∴这辆汽车能顺利通过大门.

【例题3】在一场篮球赛中,队员甲正在投篮,当球出手时离地面的高度为2.4 m,与篮圈中心的水平距离为7 m；当球出手后,球在水平方向移动4 m时到达最大高度4 m. 设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地面3 m,队员甲能否将球投入篮圈(假设篮圈的直径为45 cm,篮球的直径约为25 cm,篮球中心偏离篮圈中心10 cm以内都能投中)？

答案：
思路导引 建立直角坐标系,用函数观点判断篮圈中心点是否在抛物线上.

解：如图,以队员甲投球站立的位置为原点,球运动的水平方向为x轴,建立直角坐标系.
由于球在空中的路径为抛物线,其图象的顶点为(4, 4),设二次函数的解析式为$y = a(x - 4)^2 + 4$ $(a ≠ 0)$.
由已知可得,这个函数的图象经过点(0, 2.4),可以得到$2.4 = a(0 - 4)^2 + 4$.
解得$a = -0.1$.
∴该二次函数的解析式为$y = -0.1(x - 4)^2 + 4$.
当$y = 3$时,有$3 = -0.1(x - 4)^2 + 4$.
解得$x_1 = 4 + \sqrt{10} ≈ 7.16$,$x_2 = 4 - \sqrt{10}$(不合题意,舍去).
∵$0.16 ＞ 0.1$,
∴队员甲不能将球投入篮圈.