《2025年云南省标准教辅优佳学案九年级数学上册人教版》

1.下列方程中,是一元二次方程的是(D).
A.$x-9= 0$
B.$x^{2}-2x-3$
C.$y= x^{2}-1$
D.$x^{2}+6x+5= 0$

答案： 【解析】：
本题考察的是一元二次方程的定义。一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。
A选项：$x-9= 0$，此方程只含有一个未知数x的一次项，没有二次项，因此不是一元二次方程。
B选项：$x^{2}-2x-3$，此式并不是一个方程（因为没有等号），所以不是一元二次方程。
C选项：$y= x^{2}-1$，此方程含有两个未知数x和y，因此不是一元二次方程。
D选项：$x^{2}+6x+5= 0$，此方程符合一元二次方程的一般形式，且二次项系数不为0，因此是一元二次方程。
【答案】：
D

2.若关于$x的方程kx^{2}-6x+9= 0$有实数根,则$k$的取值范围是(D).
A.$k＜1且k\neq0$
B.$k\leq1且k\neq0$
C.$k＜1$
D.$k\leq1$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式。
首先，我们需要考虑方程$kx^{2} - 6x + 9 = 0$的根的情况。
当$k = 0$时，方程变为$-6x + 9 = 0$，这是一个一元一次方程，其解为$x = \frac{3}{2}$，满足方程有实数根的条件。
当$k \neq 0$时，方程为一元二次方程，我们需要利用判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$来判断方程的根的情况。
将方程的系数代入判别式，得：
$\Delta = (-6)^{2} - 4 × k × 9 = 36 - 36k$
由于方程需要有实数根，所以判别式需要大于等于0，即：
$36 - 36k \geq 0$
解这个不等式，得到：
$k \leq 1$
综合两种情况，$k$的取值范围是$k \leq 1$。
【答案】：
D. $k\leq1$。

3.已知$x= 1是关于x的一元二次方程x^{2}+mx+n= 0$的解,则$m+n$等于(C).
A.1
B.-2
C.-1
D.2

答案： 解：因为$x = 1$是方程$x^{2}+mx + n=0$的解，
所以将$x = 1$代入方程得：$1^{2}+m×1 + n=0$，
即$1 + m + n=0$，
所以$m + n=-1$。
答案：C

4.若关于$x的一元二次方程x^{2}-6x+m= 0$有两个相等的实数根,则$m=$9.

答案： 解：对于一元二次方程$x^{2}-6x+m=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=m$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta =b^{2}-4ac=0$。
即$(-6)^{2}-4×1× m=0$，
$36 - 4m = 0$，
$4m = 36$，
解得$m = 9$。
故答案为$9$。

5.若$m,n为方程x^{2}-2023x+1= 0$的两个实数根,则$m^{2}n+mn^{2}$的值为______2023.

答案： 解：
∵m，n为方程$x^{2}-2023x + 1 = 0$的两个实数根，
∴由韦达定理得$m + n = 2023$，$mn = 1$。
$m^{2}n+mn^{2}=mn(m + n)=1×2023 = 2023$。
故答案为：2023。

6.若分式$\frac{x^{2}-7x-8}{x+1}$的值是0,则$x= $8.

答案： 【解析】：
首先，我们考虑分式的分子是0的情况，即：
$x^{2} - 7x - 8 = 0$
这是一个一元二次方程，通过因式分解或者使用求根公式，我们可以得到其解。
同时，我们要确保分母不为0，即：
$x + 1 \neq 0$
解出$x \neq -1$。
结合上述两点，我们可以解出$x$的值。
【答案】：
解：
首先，我们解方程$x^{2} - 7x - 8 = 0$，
因式分解得：$(x - 8)(x + 1) = 0$，
解得：$x = 8$ 或 $x = -1$。
但由于分母$x + 1 \neq 0$，所以 $x \neq -1$。
因此，只有 $x = 8$ 满足条件。
故答案为：$x = 8$。

7.已知三角形两条边的长分别为6和8,第三边的长是一元二次方程$x^{2}-14x+40= 0$的根,则这个三角形的周长为18或24.

答案： 解：解方程$x^{2}-14x + 40=0$，
因式分解得$(x - 4)(x - 10)=0$，
则$x - 4=0$或$x - 10=0$，
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=10$。
当第三边为$4$时，$6 + 4＞8$，$6 + 8＞4$，$4 + 8＞6$，能构成三角形，周长为$6 + 8 + 4=18$；
当第三边为$10$时，$6 + 8＞10$，$6 + 10＞8$，$8 + 10＞6$，能构成三角形，周长为$6 + 8 + 10=24$。
故这个三角形的周长为$18$或$24$。

8.解下列方程.
(1)$3x^{2}+4x+1= 0$.
(2)$x^{2}-1= 3x-3$.

答案：
(1)解：$3x^{2}+4x+1=0$
$(3x+1)(x+1)=0$
$3x+1=0$或$x+1=0$
$x_{1}=-\dfrac{1}{3}$，$x_{2}=-1$
(2)解：$x^{2}-1=3x-3$
$x^{2}-3x+2=0$
$(x-1)(x-2)=0$
$x-1=0$或$x-2=0$
$x_{1}=1$，$x_{2}=2$

9.“绿水青山就是金山银山”,为了使山更绿、水更清,某区大力实施生态修复工程,发展林业产业,2022年投入资金128万元,2024年投入资金200万元.
(1)求该区2022年至2024年投入资金的年平均增长率.
(2)根据(1)的计算结果预测,该区2025年投入资金多少万元？

答案：
(1)解：设该区2022年至2024年投入资金的年平均增长率为$x$。
根据题意，得$128(1+x)^{2}=200$
$(1+x)^{2}=\frac{200}{128}=\frac{25}{16}$
$1+x=\pm\frac{5}{4}$
解得$x_{1}=\frac{1}{4}=25\%$，$x_{2}=-\frac{9}{4}$（不合题意，舍去）
答：该区2022年至2024年投入资金的年平均增长率为$25\%$。
(2)解：$200×(1 + 25\%)=250$（万元）
答：该区2025年投入资金$250$万元。

10.李大叔决定销售一批特产,该特产的进价为30元/kg,按50元/kg出售时,平均每天可售出100kg. 后来经过市场调查发现,售价每降低1元,则平均每天的销售量可增加10kg. 若李大叔销售这种特产计划每天获利2240元,请回答以下问题：
(1)该种特产每千克应降价多少元？
(2)为了尽可能让利于顾客,则李大叔应按原价的几折出售？

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的应用，特别是与利润相关的实际问题。
首先，我们需要根据题目描述，设立降价金额为$x$元，然后根据售价、进价和销售量之间的关系，建立一元二次方程来表示每天的利润。
接着，我们将这个方程设置为等于目标利润2240元，从而得到一个关于$x$的一元二次方程。
解这个方程，我们可以找到两个解，分别代表两种可能的降价金额。
然后，我们需要根据题目中的“尽可能让利于顾客”的条件，选择较大的降价金额。
最后，我们需要计算折扣率，即降价后的售价占原售价的百分比。
【答案】：
(1)解：设该种特产每千克应降价$x$元，
根据题意，得$(50 - 30 - x)(100 + 10x) = 2240$，
化简得$x^{2} - 10x + 24 = 0$，
解得$x_{1} = 4$，$x_{2} = 6$。
答：该种特产每千克应降价$4$元或$6$元。
(2)由（1）可知，若要尽可能让利于顾客，则该种特产每千克应降价$6$元，
此时售价为$50 - 6 = 44$(元)，
所以折扣率为$\frac{44}{50} × 10 = 8.8$(折)。
答：李大叔应按原价的$8.8$折出售。