《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

12. 若方程$x^{2}-(m+6)x+m^{2}= 0$有两个相等的实数根,且满足$x_{1}+x_{2}= x_{1}x_{2}$,则$m$的值为(C)
A.-2或6
B.3
C.-2
D.-3或2

答案： C

13. 若$x_{1},x_{2}是方程2x^{2}+kx-2= 0$的两根,且$(x_{1}-2)(x_{2}-2)= 10$,则$k$的值为7.

答案： 7

14. 若关于$x的方程x^{2}-2(m+1)x+m+4= 0$两根的倒数和为1,则$m$的值为2.

答案： 2

15. 已知$a,b是方程x^{2}+3x-4= 0$的两根,则$a^{2}+4a+b-3= $-2.

答案： -2

16. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(m+2)x+m-1= 0$.
(1)求证：无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求$m$的值.

答案： 1. （1）证明：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(m + 2)x+m - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-(m + 2)$，$c=m - 1$。
则$\Delta=(m + 2)^{2}-4(m - 1)$。
展开$(m + 2)^{2}-4(m - 1)$：
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，$(m + 2)^{2}=m^{2}+4m + 4$。
所以$\Delta=m^{2}+4m + 4-4m + 4$。
合并同类项得$\Delta=m^{2}+8$。
因为$m^{2}\geqslant0$，所以$m^{2}+8\gt0$。
即无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
2. （2）解：
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-(m + 2)x+m - 1 = 0$中，$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$。
已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，根据完全平方公式$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
则$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$。
把$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$代入$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$得：
$(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9$。
展开$(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9$，即$m^{2}+4m + 4-3m + 3 = 9$。
整理得$m^{2}+m - 2 = 0$。
对于一元二次方程$m^{2}+m - 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = 1$，$c=-2$。
根据求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×(-2)=1 + 8 = 9$。
则$m=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}$。
当$m=\frac{-1 + 3}{2}$时，$m = 1$；当$m=\frac{-1-3}{2}$时，$m=-2$。
综上，（1）证明过程如上述；（2）$m$的值为$1$或$-2$。

17. 已知关于$x的方程(m^{2}-6m+10)x^{2}-4x+n= 0$.
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程.小聪的结论正确吗？请说明理由；
(2)当$m= 2$时,
①若该方程有实数解,求$n$的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为$x_{1}和x_{2}$,满足$(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+n^{2}= 16$,求$n$的值.

答案： $(1)$ 判断方程是否为一元二次方程
解：小聪的结论正确。
对于$m^{2}-6m + 10$，将其变形为$m^{2}-6m + 9+1=(m - 3)^{2}+1$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(m - 3)^{2}\geq0$，所以$(m - 3)^{2}+1\geq1\gt0$。
在方程$(m^{2}-6m + 10)x^{2}-4x + n = 0$中，二次项系数$m^{2}-6m + 10\neq0$，根据一元二次方程的定义$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，所以该方程一定是一元二次方程。
$(2)$ 当$m = 2$时
- ① 求$n$的取值范围
当$m = 2$时，$m^{2}-6m + 10=2^{2}-6×2 + 10=4-12 + 10 = 2$，原方程变为$2x^{2}-4x + n = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，在方程$2x^{2}-4x + n = 0$中，$a = 2$，$b=-4$，$c = n$，则$\Delta=(-4)^{2}-4×2n=16 - 8n$。
因为方程有实数解，所以$\Delta\geq0$，即$16 - 8n\geq0$。
移项可得$-8n\geq - 16$，两边同时除以$-8$，不等号方向改变，解得$n\leq2$。
- ② 求$n$的值
由韦达定理可知，在一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$中，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$2x^{2}-4x + n = 0$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{-4}{2}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{n}{2}$。
对$(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+n^{2}=16$进行变形：
$\begin{aligned}(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+n^{2}&=16\\x_{1}^{2}-4x_{1}+4+x_{2}^{2}-4x_{2}+4 + n^{2}&=16\\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})-4(x_{1}+x_{2})+8 + n^{2}&=16\\(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 + n^{2}&=16\end{aligned}$
把$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{n}{2}$代入上式得：
$2^{2}-2×\frac{n}{2}-4×2 + 8 + n^{2}=16$
即$4 - n-8 + 8 + n^{2}=16$
整理得$n^{2}-n - 12 = 0$
因式分解得$(n - 4)(n + 3)=0$
则$n - 4 = 0$或$n + 3 = 0$
解得$n = 4$或$n=-3$。
又因为由①知$n\leq2$，所以$n=-3$。
综上，答案依次为：$(1)$ 小聪结论正确，理由见上述过程；$(2)$ ①$n\leq2$；②$n=-3$。

18.[创新意识]阅读材料：
材料1：关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两个实数根x_{1},x_{2}和系数a,b,c$有如下关系：$x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$.
材料2：已知一元二次方程$x^{2}-x-1= 0的两个实数根分别为m,n$,求$m^{2}n+mn^{2}$的值.
解：∵$m,n是一元二次方程x^{2}-x-1= 0$的两个实数根,
∴$m+n= 1$,$mn= -1$,
则$m^{2}n+mn^{2}= mn(m+n)= -1×1= -1$.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题：
(1)应用：若一元二次方程$2x^{2}+3x-1= 0的两个实数根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $$-\frac{3}{2}$,$x_{1}x_{2}= $$-\frac{1}{2}$；
(2)类比：已知一元二次方程$2x^{2}+3x-1= 0的两个实数根为m,n$,求$m^{2}+n^{2}$的值；
$\frac{13}{4}$
(3)提升：已知实数$s,t满足2s^{2}+3s-1= 0$,$2t^{2}+3t-1= 0且s≠t$,求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值.
$\pm \sqrt{17}$

答案：
(1)$-\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2)$\frac{13}{4}$
(3)$\pm \sqrt{17}$