《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

10. 用配方法解一元二次方程$x^2 + mx = 1$时,可将原方程配方成$(x - 3)^2 = n$,则$m + n$的值为 (A)
A.4
B.7
C.12
D.17

答案： A

11. 若方程$x^2 - 2x + m = 0可以配方成(x - n)^2 = 5$,则方程$x^2 - 2x + m = 3$的根为$x_{1}=1+2\sqrt {2},x_{2}=1-2\sqrt {2}$.

答案： $x_{1}=1+2\sqrt {2},x_{2}=1-2\sqrt {2}$

12. 用配方法解下列方程：
(1)$(2x - 1)^2 = x(3x + 2) - 7$；
(2)$5(x^2 + 17) = 6(x^2 + 2x)$.

答案：
(1)$x_{1}=2,x_{2}=4$
(2)$x_{1}=5,x_{2}=-17$

13. 用配方法解一元二次方程：$2x^2 + 3x + 1 = 0$.
小明同学的解题过程如下：
解：$x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + \frac{1}{2} = 0$,
$(x + \frac{3}{2})^2 = \frac{7}{4}$,
$x + \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$,
$x + \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2}或x + \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{2}$,
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{7}}{2}, x_2 = \frac{-3 + \sqrt{7}}{2}$.
小明的解题过程是否正确？若正确,请回答“对”；若不正确,请写出正确的解题过程.

答案： 不正确.正确的解题过程略

14. 阅读材料：对于任何实数,我们规定符号$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} 的意义是\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc$.例如：$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{vmatrix} = 1 × 4 - 2 × 3 = -2$,$\begin{vmatrix}-2 & 4 \\ 3 & 5\end{vmatrix} = (-2) × 5 - 4 × 3 = -22$.按照这个规定：
(1)求$\begin{vmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{vmatrix} $的值；
(2)当$\begin{vmatrix}x + 1 & x \\ x + 1 & 2x - 3\end{vmatrix} = 0$时,求$x$的值.
(1)-2
(2)-1 或 3

答案：
(1)-2
(2)-1 或 3

15. [创新意识]选取二次多项式$ax^2 + bx + c(a \neq 0)$中的两项,配成完全平方式的过程叫做配方.例如：
①选取二次项和一次项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - 2)^2 - 2$；
②选取二次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - \sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2} - 4)x或x^2 - 4x + 2 = (x + \sqrt{2})^2 - (4 + 2\sqrt{2})x$；
③选取一次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (\sqrt{2}x - \sqrt{2})^2 - x^2$.
根据上述材料,解决下列问题：
(1)写出$x^2 - 8x + 4$的两种不同形式的配方；
(2)已知$x^2 + y^2 + xy - 3y + 3 = 0$,求$x^y$的值.

答案： $(1)$ 求$x^2 - 8x + 4$的两种不同形式的配方
- **选取二次项和一次项配方：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，对于$x^2 - 8x + 4$，其中$a = x$，$2ab = 8x$，则$b = 4$。
$\begin{aligned}x^2 - 8x + 4&=x^2 - 8x + 16 - 16 + 4\\&=(x - 4)^2 - 12\end{aligned}$
选取二次项和常数项配方：
$\begin{aligned}x^2 - 8x + 4&=x^2 + 4x + 4 - 12x\\&=(x + 2)^2 - 12x\end{aligned}$
$(2)$ 求$x^y$的值
已知$x^2 + y^2 + xy - 3y + 3 = 0$，对其进行配方：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + xy - 3y + 3&=0\\x^2+xy+\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{4}y^2 - 3y + 3&=0\\(x+\frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}(y^2 - 4y + 4)&=0\\(x+\frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}(y - 2)^2&=0\end{aligned}$
因为一个数的平方是非负的，即$(x+\frac{1}{2}y)^2\geq0$，$\frac{3}{4}(y - 2)^2\geq0$，要使$(x+\frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}(y - 2)^2 = 0$成立，则：
$\begin{cases}x+\frac{1}{2}y = 0\\y - 2 = 0\end{cases}$
由$y - 2 = 0$，得$y = 2$，把$y = 2$代入$x+\frac{1}{2}y = 0$，得$x+\frac{1}{2}×2 = 0$，解得$x=-1$。
所以$x^y=(-1)^2 = 1$。
综上，答案为：$(1)$$\boldsymbol{(x - 4)^2 - 12}$，$\boldsymbol{(x + 2)^2 - 12x}$（答案不唯一）；$(2)$$\boldsymbol{1}$。