《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

无论p取何值,方程$(x-3)(x-2)-p^{2}= 0$总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由.

答案： 是.
理由：方程化为一般式为$x^{2}-5x+6-p^{2}=0$，
判别式$\Delta=(-5)^{2}-4×1×(6-p^{2})=25-24+4p^{2}=1+4p^{2}$，
因为$p^{2}\geq0$，所以$4p^{2}\geq0$，则$\Delta=1+4p^{2}\geq1＞0$，
故无论$p$取何值，方程总有两个不等的实数根.

1. 已知关于x的一元二次方程$(x-3)(x-2)= p(p+1)$.试证明：无论p取何值,此方程总有两个实数根.

答案： 【解析】：
为了证明无论$p$取何值，此方程总有两个实数根，我们可以按照以下步骤进行推导：
第一步，根据题目已知的一元二次方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$，我们可以将其改写为标准形式$x^{2} - 5x + 6 - p(p + 1) = 0$。
第二步，根据一元二次方程的根的判别式，我们知道一元二次方程的根的判别式为$\Delta = b^{2} - 4ac$，其中$a$、$b$、$c$分别是一元二次方程的系数。
第三步，将$a=1$，$b=-5$，$c=6-p(p+1)$代入判别式，得到$\Delta = (-5)^{2} - 4 × 1 × (6 - p(p + 1)) = 25 - 4(6 - p^{2} - p) = (2p + 1)^{2}$。
第四步，根据平方数的性质，我们知道平方数总是大于等于0，即$(2p + 1)^{2} \geq 0$。
第五步，根据一元二次方程的根的情况与判别式关系，当$\Delta \geq 0$时，一元二次方程有两个实数根。
因此，我们证明了无论$p$取何值，此方程总有两个实数根。
【答案】：
证明：将原方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$展开并整理得$x^{2} - 5x + 6 - p^{2} - p = 0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=6-p^{2}-p$，
计算判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4(6 - p^{2} - p) = (2p + 1)^{2}$，
由于$(2p + 1)^{2} \geq 0$，根据一元二次方程的根的判别式，方程有两个实数根。

2. 已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1= 0(a\neq 0)$.
(1)当$b= a+2$时,利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.

答案： $(1)$ 判断方程根的情况
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + 1 = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$（这里$c = 1$）。
当$b=a + 2$时，$\Delta=(a + 2)^{2}-4a×1$
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，展开$(a + 2)^{2}$得：
$\Delta=a^{2}+4a + 4-4a$
合并同类项：$\Delta=a^{2}+4$。
因为$a^{2}\geqslant0$，所以$a^{2}+4＞0$，即$\Delta＞0$。
所以方程有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求满足条件的$a$，$b$的值及方程的根
解：因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=b^{2}-4a=0$。
取$a = 1$，则$b^{2}-4×1=0$，即$b^{2}=4$，解得$b=\pm2$。
当$a = 1$，$b = 2$时，原方程为$x^{2}+2x + 1 = 0$。
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，方程可化为$(x + 1)^{2}=0$。
开方得$x+1 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=-1$。
综上，$(1)$ 方程有两个不相等的实数根；$(2)$ 当$a = 1$，$b = 2$时（答案不唯一），方程的根为$x_{1}=x_{2}=-1$。

3. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-k+1= 0$有两个相等的实数根,则k的值为(B)
A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： B

4. 若关于x的方程$x^{2}+6x+c= 0$有两个相等的实数根,则c的值为(C)
A.36
B.-36
C.9
D.-9

答案： C

5. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-(m-2)x+8= 0$的一个根是4,则方程的另一个根是2；若方程有两个相等的实数根,则m的值为2+4√2或2-4√2.

答案： 2 2+4√2或2-4√2

6. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}+x+1= 0$有两个实数根,则k的取值范围是(D)
A.$k\leqslant \frac{5}{4}$
B.$k＞\frac{5}{4}$
C.$k＜\frac{5}{4}或k\neq 1$
D.$k\leqslant \frac{5}{4}且k\neq 1$

答案： D

7. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+2x-1= 0$有两个不相等的实数根,则a的取值范围是(B)
A.$a\neq 0$
B.$a＞-1且a\neq 0$
C.$a\geqslant -1且a\neq 0$
D.$a＞-1$

答案： B

8. 已知关于x的一元二次方程$(m+1)x^{2}-3x+2= 0$.
(1)如果方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围；
(2)如果方程有两个相等的实数根,求m的值；
(3)如果方程没有实数根,求m的取值范围.

答案：
(1)m＜1/8且m≠-1
(2)m=1/8
(3)m＞1/8