《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

8. 如图,矩形 ABCD 的周长为 20 cm,以 AB,AD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH.如果正方形 ABEF 和正方形 ADGH 的面积之和为$ 68 cm^2,$那么矩形 ABCD 的面积为(C)

$A.24 cm^2$　　
$B.21 cm^2$　　
$C.16 cm^2$　　
$D.9 cm^2$　　

答案： C

9. 如图,在△ABC 中,∠B= 90°,AB= 5 cm,BC= 7 cm,点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动,点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发.
(1)几秒后,△PBQ 的面积等于 4 cm^2？
(2)几秒后,PQ 的长度为 $ 2\sqrt{10} $ cm？
(3)△PQB 的面积能否等于 7 cm^2？请说明理由.

答案： 1. （1）
设$x$秒后，$\triangle PBQ$的面积等于$4cm^{2}$。
已知$AP = xcm$，$BQ = 2xcm$，则$PB=(5 - x)cm$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = PB$，$h = BQ$），可得$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}(5 - x)×2x$。
因为$S_{\triangle PBQ}=4$，所以$\frac{1}{2}(5 - x)×2x = 4$。
化简方程：
方程$\frac{1}{2}(5 - x)×2x = 4$可化为$x(5 - x)=4$。
即$5x−x^{2}=4$，进一步化为$x^{2}-5x + 4 = 0$。
分解因式：
对于一元二次方程$x^{2}-5x + 4 = 0$，根据$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的因式分解法$(x - x_1)(x - x_2)=0$（其中$x_1,x_2$是方程的根），这里$a = 1$，$b=-5$，$c = 4$，$x^{2}-5x + 4=(x - 1)(x - 4)=0$。
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 4$。
当$x = 4$时，$BQ=2x = 8\gt7$，不符合题意，舍去。
所以$1$秒后，$\triangle PBQ$的面积等于$4cm^{2}$。
2. （2）
设$y$秒后，$PQ$的长度为$2\sqrt{10}cm$。
由勾股定理$PQ^{2}=PB^{2}+BQ^{2}$，已知$PB=(5 - y)cm$，$BQ = 2ycm$，$PQ = 2\sqrt{10}cm$，则$(2\sqrt{10})^{2}=(5 - y)^{2}+(2y)^{2}$。
展开并化简方程：
$40=(5 - y)^{2}+4y^{2}$。
根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$40 = 25-10y + y^{2}+4y^{2}$。
即$5y^{2}-10y - 15 = 0$，两边同时除以$5$得$y^{2}-2y - 3 = 0$。
分解因式：
对于$y^{2}-2y - 3 = 0$，$a = 1$，$b=-2$，$c=-3$，$y^{2}-2y - 3=(y - 3)(y + 1)=0$。
解得$y_1 = 3$，$y_2=-1$（时间不能为负，舍去）。
所以$3$秒后，$PQ$的长度为$2\sqrt{10}cm$。
3. （3）
设$t$秒后，$\triangle PQB$的面积为$S$，则$S=\frac{1}{2}(5 - t)×2t$。
若$S = 7$，则$\frac{1}{2}(5 - t)×2t = 7$。
化简方程：
方程$\frac{1}{2}(5 - t)×2t = 7$可化为$t(5 - t)=7$。
即$t^{2}-5t + 7 = 0$。
计算判别式$\Delta$：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，$\Delta=b^{2}-4ac$，这里$a = 1$，$b=-5$，$c = 7$。
$\Delta=(-5)^{2}-4×1×7=25 - 28=-3\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以方程$t^{2}-5t + 7 = 0$无实数根。
所以$\triangle PQB$的面积不能等于$7cm^{2}$。
综上，（1）$1$秒；（2）$3$秒；（3）不能，理由：设$t$秒后$\triangle PQB$面积为$7cm^{2}$，得到方程$t^{2}-5t + 7 = 0$，$\Delta=(-5)^{2}-4×1×7=-3\lt0$，方程无实数根。

10. [创新意识]如图,在矩形 ABCD 中,AB= 8,AD= 4.点 P 从点 A 出发,沿 A→D→C→D 运动,速度为每秒 2 个单位长度；点 Q 从点 A 出发向点 B 运动,速度为每秒 1 个单位长度.P,Q 两点同时出发,点 Q 运动到点 B 时,两点同时停止运动.设点 Q 的运动时间为 t s,连接 PQ,AC,CP,CQ.
(1)当点 P 运动到点 C 时,t= 6s；当点 Q 运动到终点时,PC 的长度为4；
(2)用含 t 的代数式表示 PD 的长；
(3)当△CPQ 的面积为 9 时,求 t 的值.

(2)PD=20-2t
(3)1 或$\frac{15}{4}$

答案：
(1)6 4
(2)$PD=20-2t$
(3)1 或$\frac{15}{4}$