《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

11. 已知 A,B,C 三点. 根据下列条件,说明 A,B,C 三点能否确定一个圆. 如果能,求出圆的半径；如果不能,请说明理由.
(1)$AB= 2\sqrt{3}+1$,$BC= 4\sqrt{3}$,$AC= 2\sqrt{3}-1$；
(2)$AB= AC= 10$,$BC= 12$.

答案： $(1)$
解：
已知$AB = 2\sqrt{3}+1$，$BC = 4\sqrt{3}$，$AC = 2\sqrt{3}-1$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
$AB + AC=(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)=4\sqrt{3}$，而$BC = 4\sqrt{3}$，即$AB + AC=BC$。
不满足三角形三边关系，所以$A$，$B$，$C$三点不能确定一个圆。
$(2)$
解：
因为$AB = AC = 10$，$BC = 12$，满足三角形三边关系（$AB+AC＞BC$，$AB - AC＜BC$等），所以$A$，$B$，$C$三点能确定一个圆。
设$\triangle ABC$外接圆的圆心为$O$，$BC$中点为$D$，连接$AD$，$AO$，$BO$。
因为$AB = AC$，所以$AD\perp BC$（等腰三角形三线合一），$BD=\frac{1}{2}BC = 6$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
设圆的半径$r = AO = BO$，则$OD = 8 - r$。
在$Rt\triangle BOD$中，根据勾股定理$BO^{2}=BD^{2}+OD^{2}$，即$r^{2}=6^{2}+(8 - r)^{2}$。
展开得$r^{2}=36+64-16r+r^{2}$。
移项可得$16r = 100$，解得$r=\frac{25}{4}$。
综上，$(1)$不能确定一个圆，因为$AB + AC=BC$，不满足三角形三边关系；$(2)$能确定一个圆，半径为$\boldsymbol{\frac{25}{4}}$。

12. 用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分.

答案： 证明：假设圆内不是直径的两条弦能互相平分，设圆的两条非直径弦AB和CD交于点P，且PA=PB，PC=PD。
连接OP，因为PA=PB，所以OP⊥AB（平分弦的直径垂直于弦）。
同理，因为PC=PD，所以OP⊥CD。
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立。
因此，圆内不是直径的两条弦不能互相平分。

13. 如图,已知等边三角形 ABC.
(1)请用直尺与圆规作等边三角形 ABC 的外接圆,并保留作图痕迹；
(2)若 P 是等边三角形 ABC 的外接圆上的一点(不与点 B,C 重合),求$\angle BPC$的度数.

答案：

(1)如图所示

(2)$60^{\circ}$或$120^{\circ}$

14. 如图,AD 是$\triangle ABC$外接圆的直径,$AD\perp BC$,垂足为 F,$\angle ABC$的平分线交 AD 于点 E,连接 BD,CD.
(1)求证：$BD= CD$；
(2)请判断 B,E,C 三点是否在以点 D 为圆心,BD 长为半径的圆上,并说明理由.

答案： 1. （1）证明：
因为$AD$是$\triangle ABC$外接圆的直径，$AD\perp BC$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$。
又因为在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所以$BD = CD$。
2. （2）解：
$B$，$E$，$C$三点在以点$D$为圆心，$BD$长为半径的圆上。
理由如下：
因为$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$\angle BAD=\angle CBD$（同弧所对的圆周角相等）。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle CBE$。
又因为$\angle DBE=\angle CBD+\angle CBE$，$\angle DEB=\angle BAD+\angle ABE$（三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
所以$\angle DBE=\angle DEB$。
根据等角对等边，可得$DB = DE$。
由（1）知$BD = CD$，所以$DB = DE = CD$。
根据圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径，所以$B$，$E$，$C$三点在以点$D$为圆心，$BD$长为半径的圆上。
综上，（1）得证$BD = CD$；（2）$B$，$E$，$C$三点在以点$D$为圆心，$BD$长为半径的圆上。

15. [创新意识]在$\triangle ABC$中,若 O 为边 BC 的中点,则必有$AB^2+AC^2= 2AO^2+2BO^2$成立. 依据以上结论,解决如下问题：如图,在矩形 DEFG 中,已知$DE= 4$,$EF= 3$,点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动,则$PF^2+PG^2$的最小值为 (C)

A.$\sqrt{10}$
B.$\frac{19}{2}$
C.10
D.34

答案： C