《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

1. 关于x的方程$x^{2}+mx-2= 0$的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

2. 若关于x的一元二次方程$(m+1)x^{2}-2x+1= 0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(A)
A.$m＜0且m\neq -1$
B.$m\geqslant 0$
C.$m\leqslant 0且m\neq -1$
D.$m＜0$

答案： A

3. 若一次函数$y= kx+b(k\neq 0)$的图象不经过第二象限,则关于x的方程$x^{2}+kx+b= 0$的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： A

4. 若关于x的方程$\frac{1}{2}x^{2}-x+c= 0$有两个相等的实数根,则c的值为1/2.

答案： 1/2

5. 若一元二次方程$x^{2}-2x+c= 0$无实数根,则实数c的取值范围是c＞1.

答案： c＞1

6. 已知关于x的一元二次方程$mx^{2}-(m+2)x+2= 0(m\neq 0)$.
(1)求证：不论m为何值,方程总有实数根；
(2)当m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根？

答案： $(1)$ 证明方程总有实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$mx^{2}-(m + 2)x + 2 = 0(m\neq0)$中，$a = m$，$b=-(m + 2)$，$c = 2$。
则$\Delta =[-(m + 2)]^{2}-4× m×2$
$=m^{2}+4m + 4-8m$
$=m^{2}-4m + 4$
$=(m - 2)^{2}$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(m - 2)^{2}\geq0$，也就是$\Delta\geq0$。
所以，不论$m$为何值，方程总有实数根。
$(2)$ 求$m$的值
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得：
$x=\frac{(m + 2)\pm\sqrt{(m - 2)^{2}}}{2m}=\frac{(m + 2)\pm(m - 2)}{2m}$。
则$x_{1}=\frac{(m + 2)+(m - 2)}{2m}=\frac{2m}{2m}=1$，$x_{2}=\frac{(m + 2)-(m - 2)}{2m}=\frac{4}{2m}=\frac{2}{m}$。
因为方程有两个不相等的正整数根，$x_{1}=1$是正整数，$x_{2}=\frac{2}{m}$也是正整数，且$m$为整数。
所以$m = 1$或$m = 2$。
又因为方程有两个不相等的根，所以$\Delta=(m - 2)^{2}＞0$，即$m\neq2$。
所以$m = 1$。
综上，$(1)$ 证明过程如上述；$(2)$$\boldsymbol{m = 1}$。

7. 定义：若一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a\neq 0)满足b= ac$,则称此方程为“蛟龙”方程.
(1)当$b＜0$时,判断此时“蛟龙”方程$ax^{2}+bx+c= 0(a\neq 0)$根的情况,并说明理由；
(2)若“蛟龙”方程$2x^{2}+mx+n= 0$有两个相等的实数根,请解此方程.

答案： $(1)$ 判断“蛟龙”方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$根的情况
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
因为该方程是“蛟龙”方程，所以$b = ac$，将$b = ac$代入判别式可得$\Delta=b^{2}-4b$。
对$\Delta=b^{2}-4b$进行变形可得$\Delta=b(b - 4)$。
已知$b\lt0$，则$b-4\lt0$，两个负数相乘结果为正数，即$\Delta=b(b - 4)\gt0$。
所以，当$b\lt0$时，“蛟龙”方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有两个不相等的实数根。
$(2)$ 解“蛟龙”方程$2x^{2}+mx + n = 0$
解：因为方程$2x^{2}+mx + n = 0$是“蛟龙”方程，所以$m = 2n$。
又因为该方程有两个相等的实数根，所以其判别式$\Delta = m^{2}-4×2n=0$。
将$m = 2n$代入$\Delta = m^{2}-4×2n=0$中，得到$(2n)^{2}-8n = 0$，即$4n^{2}-8n = 0$，提取公因式$4n$可得$4n(n - 2)=0$。
则$4n=0$或$n - 2=0$，解得$n = 0$或$n = 2$。
当$n = 0$时，$m = 2×0 = 0$，原方程为$2x^{2}=0$，两边同时除以$2$得$x^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=0$。
当$n = 2$时，$m = 2×2 = 4$，原方程为$2x^{2}+4x + 2 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}+2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这里$a = x$，$b = 1$，则$(x + 1)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=-1$。
综上，方程的解为$x_{1}=x_{2}=0$或$x_{1}=x_{2}=-1$。

8. 已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$,其中a,b,c分别为$\triangle ABC$的三边的长.
(1)如果$x= -1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(3)如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案： 1. （1）
解：因为$x = - 1$是方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$的根，
所以将$x=-1$代入方程得：$(a + c)×(-1)^{2}+2b×(-1)+(a - c)=0$。
展开式子：$a + c-2b + a - c = 0$。
合并同类项：$2a-2b = 0$，即$a = b$。
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
2. （2）
解：因为方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$有两个相等的实数根，
所以判别式$\Delta=(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=0$（对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，$\Delta = B^{2}-4AC$）。
展开式子：$4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=0$。
两边同时除以$4$得：$b^{2}-a^{2}+c^{2}=0$，即$a^{2}=b^{2}+c^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
3. （3）
解：因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c$。
则原方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$可化为$(a + a)x^{2}+2ax+(a - a)=0$。
即$2ax^{2}+2ax = 0$（$a\neq0$，因为三角形边长$a\gt0$），两边同时除以$2a$得$x^{2}+x = 0$。
提取公因式$x$得$x(x + 1)=0$。
根据$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$，所以$x = 0$或$x+1 = 0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。
综上，（1）$\triangle ABC$是等腰三角形；（2）$\triangle ABC$是直角三角形；（3）$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。