《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

如图,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.
求证：
(1)$△ACD\backsim △ABC$；
(2)$△CBD\backsim △ABC$.

答案： 【解析】：本题主要考查相似三角形的判定定理，通过证明两个三角形的两组对应角相等来判定它们相似。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是斜边$AB$上的高，所以$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$。再根据同角的余角相等，得到$\angle A$在两个三角形中分别与另外两个角对应相等，从而证明$△ACD\backsim △ABC$；同理可证$△CBD\backsim △ABC$。
【答案】：证明：
(1)
∵$CD$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的高，
∴$\angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ}$。
∵$\angle A=\angle A$（公共角），
∴在$\triangle ACD$和$\triangle ABC$中，$\angle A$对应相等，$\angle ADC$与$\angle ACB$对应相等，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ACD\backsim △ABC$。
(2)
∵$CD$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的高，
∴$\angle CDB = \angle ACB = 90^{\circ}$。
∵$\angle B=\angle B$（公共角），
∴在$\triangle CBD$和$\triangle ABC$中，$\angle B$对应相等，$\angle CDB$与$\angle ACB$对应相等，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△CBD\backsim △ABC$。

1. 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,求证：
(1)$AC^{2}= AD\cdot AB$；
(2)$BC^{2}= BD\cdot AB$；
(3)$CD^{2}= BD\cdot AD$.

答案： 【解析】：
本题主要考查相似三角形的判定及性质。
(1) 利用直角三角形ABC和其高CD，通过证明两个三角形相似来验证$AC^{2} = AD \cdot AB$。
(2) 类似地，通过证明另一对三角形相似来验证$BC^{2} = BD \cdot AB$。
(3) 通过证明直角三角形CDB与直角三角形CAD相似，利用相似三角形的性质来证明$CD^{2} = BD \cdot AD$。
【答案】：
证明：
(1)在$\bigtriangleup ADC$和$\bigtriangleup ACB$中，
$\because\angle A=\angle A$，$\angle ADC=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore\bigtriangleup ADC\sim\bigtriangleup ACB$，
$\therefore AC:AB=AD:AC$，
$\therefore AC^{2}=AD\cdot AB$。
(2)在$\bigtriangleup BDC$和$\bigtriangleup BCA$中，
$\because\angle B=\angle B$，$\angle BDC=\angle BCA=90^{\circ}$，
$\therefore\bigtriangleup BDC\sim\bigtriangleup BCA$，
$\therefore BC:AB=BD:BC$，
$\therefore BC^{2}=BD\cdot AB$。
(3)在$\bigtriangleup BDC$和$\bigtriangleup CDA$中，
$\because\angle BDC=\angle CDA=90^{\circ}$，
$\angle BCD=\angle A$（同为$\angle B$的余角），
$\therefore\bigtriangleup BDC\sim\bigtriangleup CDA$，
$\therefore CD:AD=BD:CD$，
$\therefore CD^{2}=BD\cdot AD$。

2. 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.若$AC= \sqrt{5}$,$DB= 4$,则AD的长为1.

答案： 1

3. 如图,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,且$AC= 2BC$.求证：$AD= 4BD$.

答案： 【解析】：
本题考查相似三角形的性质，通过证明三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例来求解$AD$与$BD$的关系。
1. 首先证明$\triangle ACD$与$\triangle ABC$相似：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，所以$\angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ}$。
又因为$\angle A$是$\triangle ACD$与$\triangle ABC$的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，则有$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^{2}=AD\cdot AB$。
2. 接着证明$\triangle BCD$与$\triangle BAC$相似：
因为$\angle BDC = \angle BCA = 90^{\circ}$，$\angle B$是$\triangle BCD$与$\triangle BAC$的公共角，所以$\triangle BCD\sim\triangle BAC$。
由相似三角形对应边成比例可得$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，即$BC^{2}=BD\cdot AB$。
3. 然后结合已知条件$AC = 2BC$来推导$AD$与$BD$的关系：
由$AC^{2}=AD\cdot AB$和$BC^{2}=BD\cdot AB$，两式相除可得$\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{AD\cdot AB}{BD\cdot AB}=\frac{AD}{BD}$。
已知$AC = 2BC$，那么$\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{(2BC)^{2}}{BC^{2}}=\frac{4BC^{2}}{BC^{2}} = 4$。
所以$\frac{AD}{BD}=4$，即$AD = 4BD$。
【答案】：
证明：
∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，
∴$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$，
又
∵$\angle A=\angle A$，
∴$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^{2}=AD\cdot AB$。
∵$\angle BDC=\angle BCA = 90^{\circ}$，$\angle B=\angle B$，
∴$\triangle BCD\sim\triangle BAC$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，即$BC^{2}=BD\cdot AB$。
∵$AC = 2BC$，
∴$\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{AD\cdot AB}{BD\cdot AB}=\frac{AD}{BD}=4$，
∴$AD = 4BD$。

4. 如图,D为△ABC的边AB上一点,$AD= 2$,$BD= 6$,$AC= 4$.求证：$△ACD\backsim △ABC$.

答案： 【解析】：
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，即如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，利用该判定定理可证得$△ACD\backsim △ABC$。
根据已知条件$AD=2$，$BD=6$，$AC=4$，可以得出$AB=AD+BD=2+6=8$，
从而有$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又因为$∠A$是$△ACD$和$△ABC$的公共角，即$∠A=∠A$，
根据相似三角形的判定定理，可以得出$△ACD\backsim △ABC$。
【答案】：
证明：
∵$AD=2$，$BD=6$，$AC=4$，
∴$AB=AD+BD=2+6=8$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又
∵$∠A=∠A$，
∴$△ACD\backsim △ABC$。