《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

9. 如图,在△ABC中,CD是边AB上的高. 若$\frac{AD}{CD}= \frac{CD}{BD}$,则∠ACB的度数为90°.

答案： 90

10. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,BC= 3,AC= 4,D为AB的中点. 若在AC边上取点E,使△ADE与△ABC相似,则AE的长为2或$\frac{25}{8}$.

答案： 2或$\frac{25}{8}$

11. 如图,已知O为△ABC内一点,A',B',C'分别是OA,OB,OC上的点,且OA'∶AA'= OB'∶BB'= 1∶2,OC'∶CC'= 2∶1,且OB= 6.
(1)求证：△OA'B'∽△OAB；
(2)以O,B',C'为顶点的三角形是否可能与△OBC相似？若可能,求出OC的长；若不可能,请说明理由.

答案： 1. （1）证明：
已知$OA':AA' = OB':BB'=1:2$，则$OA':OA=\frac{OA'}{OA' + AA'}=\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$，$OB':OB=\frac{OB'}{OB' + BB'}=\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$。
所以$OA':OA = OB':OB$，又因为$\angle A'OB'=\angle AOB$（公共角）。
根据三角形相似的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle OA'B'\sim\triangle OAB$。
2. （2）
已知$OB = 6$，由$OB':BB' = 1:2$，可得$OB'=\frac{1}{3}OB=\frac{1}{3}×6 = 2$。
设$OC=x$，因为$OC':CC' = 2:1$，则$OC'=\frac{2}{3}x$。
假设$\triangle OB'C'\sim\triangle OBC$，则$\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}$（不成立，因为$\frac{OB'}{OB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{OC'}{OC}=\frac{\frac{2}{3}x}{x}=\frac{2}{3}$）。
假设$\triangle OB'C'\sim\triangle OCB$，则$\frac{OB'}{OC}=\frac{OC'}{OB}$。
把$OB' = 2$，$OC'=\frac{2}{3}x$，$OB = 6$代入$\frac{OB'}{OC}=\frac{OC'}{OB}$，即$\frac{2}{x}=\frac{\frac{2}{3}x}{6}$。
交叉 - 相乘得：$\frac{2}{3}x^{2}=12$。
化简得$x^{2}=18$，解得$x = 3\sqrt{2}$或$x=-3\sqrt{2}$（线段长度不能为负舍去）。
所以：
(1) 证明过程如上述；
(2) 可能，$OC$的长为$3\sqrt{2}$。

12. 如图,在△ABC中,AB= AC= 1,BC= $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,在AC边上截取AD= BC,连接BD.
(1)通过计算,判断$AD^2$与AC·CD的大小关系；
(2)求∠ABD的度数.

答案：
(1)$AD^2=AC\cdot CD$
(2)$36^\circ$

13. 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且$\frac{AB}{AE}= \frac{BC}{ED}= \frac{AC}{AD}$.
(1)∠1与∠2相等吗？请说明理由；
(2)判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.

答案： 1. （1）
解：$\angle1 = \angle2$。
理由：在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，
因为$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
根据“三边成比例的两个三角形相似”（$SSS$相似判定），所以$\triangle ABC\sim\triangle AED$。
由相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，可得$\angle BAC=\angle EAD$。
又因为$\angle BAC=\angle1 + \angle EAC$，$\angle EAD=\angle2+\angle EAC$，
所以$\angle1=\angle2$。
2. （2）
解：$\triangle ABE\sim\triangle ACD$。
理由：
已知$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，由（1）已证$\angle1 = \angle2$。
根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（$SAS$相似判定），在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$（由$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$变形可得），$\angle1=\angle2$。
所以$\triangle ABE\sim\triangle ACD$。

14. [创新意识]如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由；
$(2)P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,D,F$是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似(写出2个符合条件的三角形,并在图中连接相应线段,不必说明理由).

答案：
解：
(1) $\triangle ABC$和$\triangle DEF$相似.理由：根据勾股定理，得$AB = 2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5}$，$BC = 5$；$DE = 4\sqrt{2}$，$DF = 2\sqrt{2}$，$EF = 2\sqrt{10}$.$\because\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\therefore\triangle ABC\backsim\triangle DEF$.
(2) 答案不唯一，下面 7 个三角形中的任意 2 个均可：$\triangle DP_{2}P_{3}$，$\triangle P_{3}P_{4}F$，$\triangle DP_{2}P_{4}$，$\triangle P_{5}P_{1}D$，$\triangle P_{1}P_{5}P_{2}$，$\triangle FDP_{1}$，$\triangle P_{2}EP_{1}$.