《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

一 设一般式 $ y= ax^{2}+bx+c $ 求二次函数的解析式
【教材母题 1】(教材 P40 练习第 2 题)
一个二次函数的图象经过$(0,0),(-1,-1),(1,9)$三点. 求这个二次函数的解析式.
【思想方法】若已知条件是图象上的三个点的坐标,则设所求二次函数的解析式为 $ y= ax^{2}+bx+c $,将已知条件代入,求出 $ a,b,c $ 的值.
【变式】(变为三个已知点的坐标通过表格给出,求解析式)
1. 已知二次函数 $ y= ax^{2}+bx+c(a≠0) $ 自变量 $ x $ 的部分取值及对应的函数值 $ y $ 如下表：

(1)此二次函数的图象的对称轴为直线$x=-1$；
(2)此二次函数的解析式为$y=x^{2}+2x+3$；
(3)当$-3＜x＜4$时,$ y $ 的取值范围是$2\leqslant y＜27$.

答案： $y=4x^{2}+5x$；
(1)$x=-1$；
(2)$y=x^{2}+2x+3$；
(3)$2\leqslant y＜27$

二 设顶点式 $ y= a(x-h)^{2}+k $ 求二次函数的解析式
【教材母题 2】(教材 P36 例 4)
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高,高度为 3 m,水柱落地处离池中心 3 m,水管应多长？
【思想方法】若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值(最小值),求二次函数的解析式,可设所求二次函数的解析式为 $ y= a(x-h)^{2}+k $,将已知条件代入,求出待定系数即可.
2.25m

答案： 教材母题2
本题可先根据已知条件设出二次函数的顶点式，再代入已知点求出$a$的值，最后求出$x = 0$时$y$的值，即为水管的长度。
- **步骤一：设二次函数的解析式
因为抛物线形水柱在与池中心的水平距离为$1m$处达到最高，高度为$3m$，所以顶点坐标为$(1,3)$，设抛物线的解析式为$y=a(x - 1)^{2}+3$（$a\neq0$）。
- **步骤二：求$a$的值
已知水柱落地处离池中心$3m$，即当$x = 3$时，$y = 0$，把$(3,0)$代入$y=a(x - 1)^{2}+3$得：
$0=a(3 - 1)^{2}+3$
$0 = 4a+3$
$4a=-3$
解得$a=-\frac{3}{4}$。
所以抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{4}(x - 1)^{2}+3$。
- **步骤三：求水管的长度
求水管的长度，即求$x = 0$时$y$的值，把$x = 0$代入$y=-\frac{3}{4}(x - 1)^{2}+3$得：
$y=-\frac{3}{4}(0 - 1)^{2}+3$
$y=-\frac{3}{4}+3$
$y=\frac{9}{4}=2.25$（$m$）
综上，水管应长$\boldsymbol{2.25m}$。
变式2
（1）求二次函数的解析式
已知二次函数图象的顶点坐标是$(1,-4)$，设二次函数的解析式为$y=a(x - 1)^{2}-4$（$a\neq0$）。
因为函数经过点$(0,-3)$，把$(0,-3)$代入$y=a(x - 1)^{2}-4$得：
$-3=a(0 - 1)^{2}-4$
$-3=a - 4$
解得$a = 1$。
所以二次函数的解析式为$y=(x - 1)^{2}-4$，展开可得$y=x^{2}-2x - 3$。
（2）求点$B$的坐标
因为点$B(m,-2)$在该函数的图象上，所以把$B(m,-2)$代入$y=(x - 1)^{2}-4$得：
$-2=(m - 1)^{2}-4$
$(m - 1)^{2}=2$
$m - 1=\pm\sqrt{2}$
当$m - 1=\sqrt{2}$时，$m = 1+\sqrt{2}$；当$m - 1=-\sqrt{2}$时，$m = 1-\sqrt{2}$。
所以点$B$的坐标为$(1 + \sqrt{2},-2)$或$(1 - \sqrt{2},-2)$。
综上，答案依次为：（1）$\boldsymbol{y=x^{2}-2x - 3}$；（2）$\boldsymbol{(1 + \sqrt{2},-2)}$或$\boldsymbol{(1 - \sqrt{2},-2)}$。

【变式】(变为已知顶点坐标,求解析式)
2. 已知二次函数图象的顶点坐标是$(1,-4)$,且经过点$(0,-3)$.
(1)这个二次函数的解析式为______；
(2)若点$ B(m,-2) $在该函数的图象上,则点$ B $的坐标为______.

答案：
(1)$y=(x-1)^{2}-4$；
(2)$(1-\sqrt {2},-2)$或$(1+\sqrt {2},-2)$

三 设交点式 $ y= a(x-x_{1})(x-x_{2}) $ 求二次函数的解析式
【教材母题 3】(教材 P42 习题 22.1 第 10(3)题)
根据二次函数图象上三个点的坐标：$(-1,0),(3,0),(1,-5)$,求出函数的解析式.
【思想方法】若已知二次函数图象与 $ x $ 轴的两个交点的坐标求二次函数的解析式,可设所求二次函数的解析式为 $ y= a(x-x_{1})(x-x_{2}) $,将已知条件代入,求出待定系数即可.
【变式】(同类变式)
3. 若抛物线 $ y= ax^{2}+bx+c $ 经过$(1,0),(-3,0),(0,-2)$三点,则抛物线的解析式为$y=\frac {2}{3}x^{2}+\frac {4}{3}x-2$.

答案： $y=\frac {5}{4}x^{2}-\frac {5}{2}x-\frac {15}{4}$；$y=\frac {2}{3}x^{2}+\frac {4}{3}x-2$

四 利用平移规律求二次函数的解析式
【教材母题 4】(教材 P34 思考)
抛物线 $ y= -\frac{1}{2}(x+1)^{2},y= -\frac{1}{2}(x-1)^{2} $ 与抛物线 $ y= -\frac{1}{2}x^{2} $ 有什么关系？
【思想方法】(1)可按照口诀“左加右减,上加下减”写出平移后对应的解析式；(2)平移所得抛物线的解析式与平移的先后顺序无关.

答案： 解：抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^{2}$是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}$向左平移1个单位长度得到的；抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^{2}$是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}$向右平移1个单位长度得到的。