《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

11. 下列式子中,属于方程 $\frac{1}{2}x^{2}-x= 2$ 所化成的一元二次方程的一般形式的是 ①②④⑤(填序号).
① $\frac{1}{2}x^{2}-x-2= 0$；② $-\frac{1}{2}x^{2}+x+2= 0$；③ $x^{2}-2x= 4$；④ $-x^{2}+2x+4= 0$；⑤ $\sqrt{3}x^{2}-2\sqrt{3}x-4\sqrt{3}= 0$.

答案： ①②④⑤

12. (1) 若 $x= 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx-6= 0$ 的解,则 $m= $ 5；
(2) 若 $x= 3$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}-bx= 6$ 的解,则 $2025-6a+2b= $ 2021.

答案：
(1)5
(2)2021

13. 已知关于 $x$ 的方程 $(m^{2}-1)x^{2}+(m-1)x-2= 0$.
(1) 当 $m$ 为何值时,该方程为一元二次方程？
(2) 当 $m$ 为何值时,该方程为一元一次方程？

答案：
(1)m≠±1
(2)m=-1

14. 定义：如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$ 满足 $a-b+c= 0$,那么我们称这个方程为“凤凰方程”.
(1) 判断一元二次方程 $3x^{2}-4x-7= 0$ 是否为“凤凰方程”,并说明理由；
(2) 已知 $2x^{2}-mx-n= 0$ 是关于 $x$ 的“凤凰方程”,若 $m$ 是该“凤凰方程”的一个根,求 $\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}$ 的值.

答案： $(1)$判断一元二次方程$3x^{2}-4x - 7 = 0$是否为“凤凰方程”
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），“凤凰方程”满足$a - b + c = 0$。
在方程$3x^{2}-4x - 7 = 0$中，$a = 3$，$b=-4$，$c = - 7$。
将$a$、$b$、$c$的值代入$a - b + c$得：$3-(-4)+(-7)$
$=3 + 4-7$
$=0$。
所以一元二次方程$3x^{2}-4x - 7 = 0$是“凤凰方程”。
$(2)$求$\frac{1}{m - 1}-\frac{1}{m}$的值
解：因为$2x^{2}-mx - n = 0$是“凤凰方程”，所以当$x=-1$时，$2×(-1)^{2}-m×(-1)-n = 0$，即$2 + m - n = 0$，可得$n=m + 2$。
又因为$m$是方程$2x^{2}-mx - n = 0$的一个根，将$x = m$代入方程$2x^{2}-mx - n = 0$得：$2m^{2}-m× m - n = 0$，即$2m^{2}-m^{2}-n = 0$，$m^{2}-n = 0$，把$n=m + 2$代入$m^{2}-n = 0$得：$m^{2}-(m + 2)=0$。
展开式子得$m^{2}-m - 2 = 0$，因式分解$(m - 2)(m+1)=0$，解得$m = 2$或$m=-1$。
对$\frac{1}{m - 1}-\frac{1}{m}$通分：$\frac{1}{m - 1}-\frac{1}{m}=\frac{m-(m - 1)}{m(m - 1)}=\frac{m - m + 1}{m(m - 1)}=\frac{1}{m(m - 1)}$。
当$m = 2$时，$\frac{1}{m(m - 1)}=\frac{1}{2×(2 - 1)}=\frac{1}{2}$；
当$m=-1$时，$\frac{1}{m(m - 1)}=\frac{1}{(-1)×(-1 - 1)}=\frac{1}{2}$。
综上，$\frac{1}{m - 1}-\frac{1}{m}$的值为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。

15. [应用意识]尝试与思考：(1) 在一次聚会上,每两个人见面都握手,且每两个人仅握手 1 次.若参加聚会的人数为 3,则共握手 3 次；若参加聚会的人数为 5,则共握手 10 次；若参加聚会的人数为 $n$($n$ 为正整数),则共握手 $\frac {1}{2}n(n-1)$ 次；若参加聚会的人共握手 28 次,设参加聚会的人数为 $x$,则可列方程为 $\frac {1}{2}x(x-1)=28$；

答案：
(1)3 10 $\frac {1}{2}n(n-1)$ $\frac {1}{2}x(x-1)=28$
  

(2) 小李的工作群里共有若干个同事,每个同事都分别给群里其他同事发送了一条消息,这样共有 90 条消息,设小李的工作群里共有同事 $x$ 个,可列方程为 ______；

答案：
(2)$x(x-1)=90$

拓展与应用：(3) 杭州亚运会男子篮球赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛 15 场.设有 $x$ 个球队参赛,根据题意,可列方程为 ( )
A.$x(x-1)= 15$
B.$x(x+1)= 15$
C.$\frac{1}{2}x(x-1)= 15$
D.$\frac{1}{2}x(x+1)= 15$

答案： C

(4) 嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若直线 $AB$ 上存在若干个点,使得线段总数为 15,求直线上这些点的个数(只列方程不求解)；

答案：
(4)$x²-x-30=0$

(5) 毕业晚会时每两名同学互相赠送照片一张,一共需要 90 张照片,问共有多少名同学(只列方程不求解)？

答案：
(5)$x²-x-90=0$