《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

一 网格(坐标系)中的旋转作图
【教材母题1】(教材P62习题23.1第4题)
如图,分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形.

【思想方法】网格(坐标系)中旋转作图的一般步骤：①找出原图形中的关键点；②确定旋转中心、旋转角及旋转方向；③根据旋转的性质作出关键点的对应点；④按原图的关键点的连接顺序连接作出的点,并标上相应的字母.

答案：
解：如图所示

【变式】(变网格中三角形为四边形)
1. 如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.如图1中四边形ABCD就是一个“格点四边形”.
(1)图1中四边形ABCD的面积为$\frac{15}{2}$；
(2)在图2中,作出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A′BC′；
(3)在图3中,画一个格点三角形BDE,使△BDE的面积等于四边形ABCD的面积且△BDE为轴对称图形(只需要作出1个即可).



(2)作图略
(3)作图略

答案：

(1)$\frac{15}{2}$
(2)如图所示

(3)如图所示

二 旋转证明
【教材母题2】(教材P63习题23.1第10题)
如图,△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？

【思想方法】旋转前后的图形全等,借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形,把分散的已知量聚合起来,便于找到解题突破口,疏通解题思路.

答案： 1. 首先，根据等边三角形的性质：
因为$\triangle ABD$是等边三角形，所以$AD = AB$，$\angle BAD=60^{\circ}$；
因为$\triangle AEC$是等边三角形，所以$AE = AC$，$\angle CAE = 60^{\circ}$。
那么$\angle BAD+\angle BAC=\angle CAE+\angle BAC$。
2. 然后，得到角的关系：
即$\angle DAC=\angle BAE$。
3. 接着，利用全等三角形的判定定理（$SAS$）：
在$\triangle DAC$和$\triangle BAE$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AB\\\angle DAC=\angle BAE\\AC = AE\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle DAC\cong\triangle BAE$。
由全等三角形的性质可知$BE = DC$。
从旋转的性质来看：
把$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$，因为$AB = AD$，$AE = AC$，$\angle BAE=\angle DAC$，所以$AE$与$AC$重合，$AB$与$AD$重合。
即$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$后与$\triangle ADC$重合。
解：$BE = DC$。理由如下：
因为$\triangle ABD$和$\triangle AEC$都是等边三角形，所以$AD = AB$，$AC = AE$，$\angle BAD=\angle CAE = 60^{\circ}$。
所以$\angle BAD+\angle BAC=\angle CAE+\angle BAC$，即$\angle DAC=\angle BAE$。
在$\triangle DAC$和$\triangle BAE$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AB\\\angle DAC=\angle BAE\\AC = AE\end{array}\right.$，根据$SAS$定理$\triangle DAC\cong\triangle BAE$，所以$BE = DC$。
从旋转角度看，$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$可与$\triangle ADC$重合，根据旋转的性质（旋转前后的图形全等），所以$BE = DC$。

【变式】(变条件中的等边三角形为等腰直角三角形)
2. 如图,△ABC与△CDE都是等腰直角三角形,∠ACB= ∠DCE= 90°,AC= 6,点E在点A右侧,AE= 3,∠CAE= 45°.
(1)求证：△BCE≌△ACD；
(2)求AD的长.

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$，所以$\angle ACB+\angle ACE=\angle DCE+\angle ACE$，即$\angle BCE=\angle ACD$。
又因为$\triangle ABC$与$\triangle CDE$都是等腰直角三角形，$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$，所以$BC = AC$，$CE = CD$。
在$\triangle BCE$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}BC = AC\\\angle BCE=\angle ACD\\CE = CD\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BCE\cong\triangle ACD$。
2. （2）
过点$E$作$EF\perp AC$于点$F$。
因为$\angle CAE = 45^{\circ}$，$\angle AFE = 90^{\circ}$，$AE = 3$，根据$\sin\angle CAE=\frac{EF}{AE}$，$\cos\angle CAE=\frac{AF}{AE}$，且$\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$EF = AF=AE\sin45^{\circ}=3×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
已知$AC = 6$，则$CF=AC - AF=6-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
在$Rt\triangle CEF$中，根据勾股定理$CE^{2}=EF^{2}+CF^{2}$，$EF = AF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$CF = 6-\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则$CE^{2}=(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}+(6 - \frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{9×2}{4}+36-2×6×\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{9×2}{4}=9 + 36-18\sqrt{2}=45-18\sqrt{2}$。
因为$\triangle BCE\cong\triangle ACD$，所以$AD = BE$。
又因为$BC = AC = 6$，在$Rt\triangle BCE$中，根据勾股定理$BE^{2}=BC^{2}+CE^{2}$，$BC = 6$，$CE^{2}=45-18\sqrt{2}$，则$BE^{2}=36+(45 - 18\sqrt{2})=81-18\sqrt{2}$。
另一种方法：
因为$\triangle BCE\cong\triangle ACD$，所以$AD = BE$。
因为$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$，$AC = BC = 6$，$\angle CAE = 45^{\circ}$，$\angle CAB = 45^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle BAC+\angle CAE=90^{\circ}$。
由$AC = 6$，$AE = 3$，根据勾股定理$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}$，又因为$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$（等腰直角三角形三边关系$a:b:c = 1:1:\sqrt{2}$，这里$a = b = 6$，$c = AB$）。
所以$BE=\sqrt{(6\sqrt{2})^{2}+3^{2}}=\sqrt{72 + 9}=\sqrt{81}=9$。
所以（1）已证$\triangle BCE\cong\triangle ACD$；（2）$AD$的长为$9$。