《2025年全效学习课时提优九年级数学全一册人教版精华版》

1. 下列结论中,正确的是 (D)
A.圆的切线必垂直于半径
B.垂直于切线的直线必经过圆心
C.垂直于切线的直线必经过切点
D.经过圆心与切点的直线必垂直于切线

答案： D

2. 如图,点B在⊙A上,点C在⊙A外,以下条件不能判定BC是⊙A的切线的是 (D)

A.∠A= 50°,∠C= 40°
B.∠B-∠C= ∠A

$C.AB^2+BC^2= AC^2$
D.⊙A与AC的交点是AC的中点

答案： D

3. 如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD. 若∠AOD= 80°,则∠C的度数为 (D)

A.30°
B.40°
C.45°
D.50°

答案： D

4. 如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上,过点B作直线BD,交OA的延长线于点D. 若∠ADB= 30°,则BD与⊙O的位置关系是 (A)

A.相切
B.相交
C.相离
D.不能确定

答案： A

5. 如图,已知点A,B在⊙O上,∠AOB= 72°,直线MN与⊙O相切,切点为C,且C为$\widehat{AB}$的中点,则∠ACM的度数为 (A)

A.18°
B.30°
C.36°
D.72°

答案： A

6. 如图,AD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,BC与⊙O相切于点B,连接OB,若∠ABC= 65°,则∠BOD的度数为50°.

答案： 50

7. 如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点C,连接BC. 若∠B= 28°,则∠P= 34°.

答案： 34

8. 如图,AB是半圆O的直径,D是弦AC延长线上一点,连接BD,BC,∠D= ∠ABC. 求证：BD是半圆O的切线.

答案： 【解析】：
本题考查切线的判定定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，要证明$BD$是半圆$O$的切线，已知$AB$是半圆$O$的直径，所以$AB$是半径，只需证明$AB\perp BD$即可，可通过证明$\angle ABD = 90^{\circ}$来达到目的。已知$\angle D=\angle ABC$，在$\triangle BCD$中，根据三角形内角和定理以及$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）来推导$\angle D + \angle DBC$的值，进而得到$\angle ABC+\angle DBC = 90^{\circ}$，即$\angle ABD = 90^{\circ}$。
【答案】：
证明：
∵$AB$是半圆$O$的直径
∴$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）
在$\triangle BCD$中，$\angle ACB=\angle D+\angle DBC = 90^{\circ}$
又
∵$\angle D=\angle ABC$
∴$\angle ABC+\angle DBC = 90^{\circ}$
即$\angle ABD = 90^{\circ}$
∴$AB\perp BD$
∵$AB$是半圆$O$的半径
∴$BD$是半圆$O$的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）

9. 如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C. 求证：直线PB与⊙O相切.

答案： 【解析】：本题主要考查切线的判定和性质，以及角平分线的性质。
首先，根据题目已知，⊙O与PA相切于点C，由此可以得到$OC\perp PA$（圆的切线垂直于经过切点的半径）。
接着，连接$OC$，并过点O作$OD\perp PB$于点D，根据角平分线的性质（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等），由于点O在$\angle APB$的平分线上，可以得到$OC=OD$。
最后，由于$OD$是⊙O的半径，且$OD\perp PB$，根据圆的切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），可以得出直线$PB$与⊙O相切。
【答案】：证明：
连接$OC$，过点O作$OD\perp PB$于点D，
∵⊙O与PA相切于点C，
∴$OC\perp PA$，
∵点O在$\angle APB$的平分线上，$OC\perp PA$，$OD\perp PB$，
∴$OC=OD$，
∵$OD$是⊙O的半径，$OD\perp PB$，
∴直线$PB$与⊙O相切。