《2025年同步练习册山东教育出版社六年级数学上册鲁教版五四制》

例 2
图 1 有 6 个点,图 2 有 12 个点,图 3 有 18 个点,…,按此规律,求图 10、图 $ n $ 有多少个点。
我们将每个图形分成完全相同的 6 块,每块黑点的个数相同(如图),这样图 1 中黑点个数是 $ 6×1 = 6(个) $；图 2 中黑点个数是 $ 6×2 = 12(个) $；图 3 中黑点个数是 $ 6×3 = 18(个) $；…；所以容易求出图 10、图 $ n $ 中黑点的个数分别是 60,$ 6n $。

请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题:

(1) 第 5 个点阵中有多少个圆圈?
(2) 第 $ n $ 个点阵中有多少个圆圈?
[解答]

(1) 如图所示: 第 1 个点阵中圆圈有 1 个,
第 2 个点阵中圆圈有 $ 3×2 + 1 = 7(个) $,
第 3 个点阵中圆圈有 $ 3×2×3 + 1 = 19(个) $,
第 4 个点阵中圆圈有 $ 3×3×4 + 1 = 37(个) $,
第 5 个点阵中圆圈有 $ 3×4×5 + 1 = 61(个) $。
(2) 第 $ n $ 个点阵中圆圈有 $ [3(n - 1)n + 1] $个。

答案：