《2025年金钥匙提优训练课课练九年级数学上册江苏版徐州专版》

10. (2024·黔东南一模)阅读材料：
小明用配方法解一元二次方程 $2x^{2}+4x - 8 = 0$ 的过程如下：
解：移项，得 $2x^{2}+4x = 8$。…………第一步
二次项系数化为1，得 $x^{2}+2x = 4$。…………第二步
配方，得 $(x + 2)^{2}=8$。…………第三步
解这个方程，得 $x + 2=\pm2\sqrt{2}$。…………第四步
$\therefore x_{1}=-2 + 2\sqrt{2}$，$x_{2}=-2 - 2\sqrt{2}$。…………第五步
(1) 小明的解答过程从第三步开始出现错误；
(2) 请写出正确的解答过程。

答案： 10.
(1) 三$ (2) 2x^2+4x-8=0，$移项，得$2x^2+4x=8. $二次项系数化为1，得$x^2+2x=4. $配方，得$(x+1)^2=5. $解这个方程，得$x+1=\pm\sqrt{5}.\therefore x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$

11. 已知 $a$ 是不等式 $5(m - 2)+8\lt6(m - 1)+7$ 的最小整数解，请用配方法解关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2ax + a + 1 = 0$。

答案： 11. 解不等式5(m-2)+8＜6(m-1)+7，得m＞$-3.\therefore $不等式的最小整数解为-2，即a=-2. 将a=-2代入方程$x^2+2ax+a+1=0，$得$x^2-4x-1=0. $配方，得$(x-2)^2=5. $解这个方程，得$x-2=\pm\sqrt{5}.\therefore x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$

12. (新考向·代数推理)阅读材料：
我们都知道 $a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$，$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$。因此 $-2x^{2}+40x + 5=-2(x^{2}-20x)+5=-2(x^{2}-2\cdot x\cdot10 + 10^{2}-10^{2})+5=-2[(x - 10)^{2}-100]+5=-2(x - 10)^{2}+205$。$\because(x - 10)^{2}\geqslant0$，$\therefore - 2(x - 10)^{2}\leqslant0$。$\therefore - 2(x - 10)^{2}+205\leqslant205$。$\therefore - 2x^{2}+40x + 5$ 有最大值 205。
如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4\mathrm{cm}$，$BC = 8\mathrm{cm}$，$M$、$N$ 分别是线段 $AC$ 和 $BC$ 上的动点，点 $M$ 从点 $A$ 出发以 $1\mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $C$ 运动；同时点 $N$ 从点 $C$ 出发以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $B$ 运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动。设运动的时间为 $t\mathrm{s}$，则当 $t$ 的值为多少时，$\triangle MCN$ 的面积最大？最大值为多少？
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答案： 12. 由题意，得AM=t cm,CM=(4-t)cm，$CN=2t cm.\therefore S_{\triangle MCN}=\frac{1}{2}×2t\cdot(4-t)=-t^2+4t=[-(t-2)^2+4]cm^2.\because (t-2)^2\geq0,\therefore -(t-2)^2\leq0.\therefore -(t-2)^2+4\leq4.\therefore $当t=2时，$\triangle MCN$的面积最大，最大值为$4cm^2$