《2025年金钥匙提优训练课课练九年级数学上册江苏版徐州专版》

10. 如图,张叔叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 $ 1 \mathrm{~m} $ 的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为 $ 15 \mathrm{~m}^{3} $ 的无盖长方体盒子,且此长方体盒子底面的长比宽多 $ 2 \mathrm{~m} $,求该长方体盒子底面的宽.设长方体盒子底面的宽为 $ x \mathrm{~m} $.
(1) 用含 $ x $ 的代数式分别表示出该长方体盒子底面的长和容积;
(2) 请列出关于 $ x $ 的方程.

答案： 10.
(1) 长方体盒子底面的长为 (x + 2)m，容积为$ x(x + 2) × 1 = (x^{2} + 2x)m^{3} (2) x^{2} + 2x = 15$

11. (2024·永州期中)已知关于 $ x $ 的方程 $ \left(m^{2}-1\right) x^{2}-(m+1) x+m=0 $.
(1) 当 $ m $ 为何值时,此方程是一元一次方程?
(2) 当 $ m $ 为何值时,此方程是一元二次方程? 并写出一元二次方程的二次项系数及常数项.

答案： 11.
(1) 由题意，得$ m^{2} - 1 = 0 $且 m + 1 ≠ 0，解得 m = 1
(2) 由题意，得$ m^{2} - 1 ≠ 0，$解得 m ≠ ±1. 此一元二次方程的二次项系数为$ m^{2} - 1，$常数项为 m

12. (新视角·新定义题)(2024·丹东期末)定义:方程 $ c x^{2}+b x+a=0 $ 是一元二次方程 $ a x^{2}+b x+c=0 $ 的倒方程,其中 $ a 、 b 、 c $ 为常数,且 $ a 、 c $ 不为 $ 0 $.根据此定义解决下列问题:
(1) 一元二次方程 $ -4 x^{2}+3 x+1=0 $ 的倒方程是x^{2} + 3x - 4 = 0；
(2) 若 $ x=-1 $ 是一元二次方程 $ x^{2}-2 x+c=0 $ 的倒方程的解,求出 $ c $ 的值;
(3) 若 $ m $ 是一元二次方程 $ -6 x^{2}+x+1=0 $ 的倒方程的一个实数根,求 $ m^{3}+m^{2}-6 m+2025 $ 的值.

答案： $12. (1) x^{2} + 3x - 4 = 0 (2) $由题意，得一元二次方程$ x^{2} - 2x + c = 0 $的倒方程为$ cx^{2} - 2x + 1 = 0. $把 x = -1 代入，得 c + 2 + 1 = 0，解得 c = -3
(3) 由题意，得一元二次方程$ -6x^{2} + x + 1 = 0 $的倒方程为$ x^{2} + x - 6 = 0. $
∵ m 是方程$ x^{2} + x - 6 = 0 $的一个实数根，
∴$ m^{2} + m - 6 = 0. $
∴$ m^{3} + m^{2} - 6m + 2025 = m(m^{2} + m - 6) + 2025 = 0 + 2025 = 2025$