《2025年金钥匙提优训练课课练九年级数学上册江苏版徐州专版》

1. 若 $ x_1 $、$ x_2 $ 是方程 $ x^2 - 6x - 7 = 0 $ 的两个实数根，则(A)

A.$ x_1 + x_2 = 6 $
B.$ x_1 + x_2 = -6 $
C.$ x_1x_2 = \frac{7}{6} $
D.$ x_1x_2 = 7 $

答案： 1. A

2. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 3x + a = 0 $ 有一个根是 $ 1 $，则另一个根是(A)

A.$ -4 $
B.$ 2 $
C.$ 4 $
D.$ -3 $

答案： 2. A

3. 下列一元二次方程中，两根之和为 $ 2 $ 的是(D)

A.$ x^2 - x + 2 = 0 $
B.$ x^2 - 2x + 2 = 0 $
C.$ x^2 - x - 2 = 0 $
D.$ 2x^2 - 4x + 1 = 0 $

答案： 3. D

4. 已知 $ x_1 $、$ x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 4x + 2 = 0 $ 的两个实数根，则 $ x_1 + x_2 - x_1x_2 = $ 2 .

答案： 4. 2

5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2(k - 1)x + k^2 = 0 $ 有两个实数根.
（1）求 $ k $ 的取值范围；
（2）当 $ k = -2 $ 时，方程有两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $，求 $ x_1^2 + x_2^2 $ 的值.

答案： 5.
(1)
∵ 关于x的方程$x^{2}+2(k - 1)x + k^{2}=0$有两个实数根，
∴$4(k - 1)^{2}-4×1×k^{2}≥0，$解得$k≤\frac{1}{2} (2) $
∵ 方程$x^{2}+2(k - 1)x + k^{2}=0$有两个实数根$x_{1}、$$x_{2}，$
∴$x_{1}+x_{2}=-2(k - 1)，$$x_{1}x_{2}=k^{2}。$
∵k = - 2，
∴$x_{1}+x_{2}=6，$$x_{1}x_{2}=4。$
∴$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=36 - 8 = 28$

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x - a = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $.若 $ x_1 = -1 $，则 $ a - x_1^2 - x_2^2 $ 的值为(B)

A.$ 7 $
B.$ -7 $
C.$ 6 $
D.$ -6 $

答案： 6. B

7. 若菱形的两条对角线的长分别为关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 10x + m = 0 $ 的两个实数根，且其面积为 $ 11 $，则该菱形的边长为(C)

A.$ \sqrt{3} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ \sqrt{14} $
D.$ 2\sqrt{14} $

答案： 7. C 解析:设该菱形的两条对角线的长分别为a、b。根据题意，得a + b = 10，$\frac{1}{2}ab = 11，$即ab = 22。
∴由勾股定理，得菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{b}{2})^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a + b)^{2}-2ab}=\frac{1}{2}×\sqrt{100 - 44}=\sqrt{14}。$

8. (2024·潍坊一模)若 $ x_1 $、$ x_2 $ 是方程 $ 2x^2 - 4x + 1 = 0 $ 的两个实数根，则 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = $ 4 .

答案： 8. 4 解析:
∵$x_{1}、$$x_{2}$是方程$2x^{2}-4x + 1 = 0$的两个实数根，
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{-4}{2}=2，$$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}。$
∴$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4。$

9. (2024·扬州期中)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^2 - 4x - 1 = 0 $ 的两个根为 $ m $、$ n $，则 $ 2m^2 - 3m + n $ 的值为 3 .

答案： 9. 3 解析:
∵关于x的一元二次方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$的两个根为m、n，
∴m + n = 2，$2m^{2}-4m - 1 = 0。$
∴$2m^{2}=4m + 1。$
∴$2m^{2}-3m + n = 4m + 1 - 3m + n = 1 + m + n = 1 + 2 = 3。$

10. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2mx + m^2 - m = 0 $ 的两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $ 满足 $ x_1x_2 = 2 $，求 $ (x_1^2 + 2)(x_2^2 + 2) $ 的值.

答案： 10.根据题意，得$x_{1}x_{2}=m^{2}-m = 2，$
∴$m^{2}-m - 2 = 0，$即(m - 2)(m + 1)=0，解得$m_{1}=2，$$m_{2}=-1。$当m = 2时，原一元二次方程为$x^{2}+4x + 2 = 0。$
∵$b^{2}-4ac = 4^{2}-4×1×2 = 8＞0，$
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-4。$
∴$(x_{1}^{2}+2)(x_{2}^{2}+2)=(x_{1}x_{2})^{2}+2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) + 4=(x_{1}x_{2})^{2}+2[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}]+4=(x_{1}x_{2})^{2}+2(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+4=2^{2}+2×(-4)^{2}-4×2 + 4 = 32。$当m = - 1时，原一元二次方程为$x^{2}-2x + 2 = 0。$
∵$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×2=-4＜0，$
∴原方程没有实数根，不符合题意，舍去。综上所述，$(x_{1}^{2}+2)(x_{2}^{2}+2)$的值为32