《2025年金钥匙提优训练课课练九年级数学上册江苏版徐州专版》

11. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + (2m + 1) = 0 $ 有实数根.
（1）求 $ m $ 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ 2x_1x_2 + x_1 + x_2 \geqslant 20 $，求 $ m $ 的取值范围.

答案： 11.
(1) 根据题意，得$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×(2m + 1)≥0，$解得m≤4
(2) 根据题意，得$x_{1}+x_{2}=6，$$x_{1}x_{2}=2m + 1。$
∵$2x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}≥20，$
∴2(2m + 1)+6≥20，解得m≥3。由
(1)，知m≤4，
∴m的取值范围是3≤m≤4

12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 4x - 2k + 8 = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $.
（1）求 $ k $ 的取值范围；
（2）若 $ x_1^3 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^3 = 24 $，求 $ k $ 的值.

答案： 12.
(1) 根据题意，得$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(-2k + 8)≥0，$整理，得16 + 8k - 32≥0，解得k≥2
(2) 根据题意，得$x_{1}^{3}·x_{2}+x_{1}·x_{2}^{3}=x_{1}x_{2}·[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}]=$
24。
∵$x_{1}+x_{2}=4，$$x_{1}x_{2}=-2k + 8，$
∴$(-2k + 8)[4^{2}-$
2(-2k + 8)] = 24。整理，得$k^{2}-4k + 3 = 0，$解得$k_{1}=3，$$k_{2}=1。$由
(1)，知k≥2，
∴k = 3

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 3x + 2a + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
（1）求实数 $ a $ 的取值范围；
（2）若 $ a $ 取符合条件的最大整数，且一元二次方程 $ x^2 - 3x + 2a + 1 = 0 $ 的两个根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，求 $ x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2 $ 的值.

答案： 13.
(1)
∵ 关于x的一元二次方程$x^{2}-3x + 2a + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴$(-3)^{2}-4×1×(2a + 1)＞0，$解得a＜\frac{5}{8}
(2)
∵ a取符合条件的最大整数，
∴a = 0。
∴方程为$x^{2}-3x + 1 = 0。$
∴$x_{1}+x_{2}=3，$$x_{1}x_{2}=1。$
∴$x_{1}^{2}·x_{2}+x_{1}·x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=3$

14. (新考向·代数推理)(2024·泉州期中)若 $ x_1 $、$ x_2 $ 是一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的两根，则有 $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $，$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $，由此可知，一元二次方程的两根的和、两根的积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系.若 $ \alpha $、$ \beta $ 是方程 $ x^2 - x - 1 = 0 $ 的两根，记 $ S_1 = \alpha + \beta $，$ S_2 = \alpha^2 + \beta^2 $，$ \cdots $，$ S_n = \alpha^n + \beta^n $.
(1)$ S_1 = $ 1 ，$ S_2 = $ 3 (直接写出所求数值)；
(2)当 $ n $ 为不小于 $ 3 $ 的整数时，求证：$ S_n = S_{n - 1} + S_{n - 2} $；
(3)利用(2)中所证明的结论，求 $ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^3 + \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^3 $ 的值.

答案： 14.
(1) 1 3 解析:
∵α、β是方程$x^{2}-x -$
1 = 0的两根，
∴α + β = 1，αβ = - 1。
∴$S_{1}=α + β = 1，$$S_{2}=$
$α^{2}+β^{2}=(α + β)^{2}-2αβ=1 + 2 = 3。$
(2)
∵α、β是方程$x^{2}-x - 1 = 0$的两根，
∴$α^{2}=α + 1，$
$β^{2}=β + 1。$
∴$S_{n - 1}+S_{n - 2}=α^{n - 1}+β^{n - 1}+α^{n - 2}+β^{n - 2}=$
$α\frac{α^{n}}{α}+\frac{β^{n}}{β}+α^{n - 2}+β^{n - 2}=\frac{α^{n}(1 + α)}{α}+\frac{β^{n}(1 + β)}{β}=α^{n}+β^{n}=S_{n}$
(3)
∵方程$x^{2}-x - 1 = 0$的两根分别为$α=\frac{1+\sqrt{5}}{2}，$β=
$\frac{1-\sqrt{5}}{2}，$
∴由
(1)
(2)，得$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{3}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{3}=S_{3}=$
$S_{2}+S_{1}=4$