《2025年金钥匙提优训练课课练九年级数学上册江苏版徐州专版》

5. 将一根长为 $56\mathrm{cm}$ 的铁丝剪成两段，把每一段铁丝做成一个正方形，并使这两个正方形的面积之和等于 $100\mathrm{cm}^2$，则较小的一个正方形的边长为6$\mathrm{cm}$.

答案： 5. 6

6. 某校要把校园内一块长 $50\mathrm{m}$、宽 $40\mathrm{m}$ 的矩形空地进行绿化，计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且种花的面积占整块绿化地面积的 $\frac{3}{10}$，则草坪的宽度是10$\mathrm{m}$.

答案： 6. 10

7. （教材 $P28$ 问题 $6$ 变式）如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6\mathrm{cm}$，$BC = 12\mathrm{cm}$，点 $P$ 从点 $A$ 开始以 $1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ 的速度沿边 $AB$ 向点 $B$ 移动（点 $P$ 不与点 $A$、$B$ 重合），点 $Q$ 从点 $B$ 开始以 $2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ 的速度沿边 $BC$ 向点 $C$ 移动（点 $Q$ 不与点 $B$、$C$ 重合）. 点 $P$、$Q$ 同时出发，设移动的时间为 $t\mathrm{s}$. 当 $t$ 为何值时，$\triangle PQD$ 是以 $PD$ 为斜边的直角三角形？
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答案： 7. $\because6÷1 = 6(s)$，$12÷2 = 6(s)$，$\therefore0＜t＜6$ 根据题意，得$(6 - t)^{2}+(2t)^{2}+(12 - 2t)^{2}+6^{2}=12^{2}+t^{2}$ 整理，得$2t^{2}-$$15t + 18 = 0$，解得$t_{1}=\frac{3}{2}$，$t_{2}=6$(不合题意，舍去) $\therefore$当$t$的值为$\frac{3}{2}$时，$\triangle PQD$是以PD为斜边的直角三角形

8. （2024·来宾期中）如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6\mathrm{cm}$，$BC = 15\mathrm{cm}$，点 $P$、$Q$、$M$、$N$ 分别从点 $A$、$B$、$C$、$D$ 同时出发，分别沿 $AD$、$BC$、$CB$、$DA$ 移动，且当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动. 已知移动一段时间后，若 $BQ = x\mathrm{cm}(x \neq 0)$，则 $AP = 2x\mathrm{cm}$，$CM = 3x\mathrm{cm}$，$DN = x^2\mathrm{cm}$.
（1）当 $x$ 为何值时，$P$、$N$ 两点重合？
（2）四个点移动过程中是否存在四边形 $ABQP$ 的面积是矩形 $ABCD$ 面积的一半？若存在，请求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由.
（3）当 $x$ 为何值时，以 $P$、$Q$、$M$、$N$ 为顶点的四边形是平行四边形？
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答案： 8.
(1) 当P、N两点重合时，即$AP + DN =$AD $\because AP = 2x cm$，$DN = x^{2} cm$，$BC = AD = 15 cm$，$\therefore x^{2}+2x = 15$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-5$(不合题意，舍去)$\therefore$当$x = 3$时，P、N两点重合
(2) 不存在 理由：$\because AP = 2x cm$，$BQ = x cm(x\neq0)$ $\therefore S_{梯形ABQP}=\frac{1}{2}×$$6(x + 2x) cm^2$，$S_{矩形ABCD}=6×15 = 90(cm^2)$$\because S_{梯形ABQP}=\frac{1}{2}S_{梯形ABCD}$ $\therefore\frac{1}{2}×6(x + 2x)=\frac{1}{2}×90$ 整理，得$9x = 45$，解得$x = 5$ 当$x = 5$时，$DN = 5^{2}=25(cm)$，$25＞15$，即各点停止移动 $\therefore$四个点移动过程中不存在四边形ABQP的面积是矩形ABCD的面积的一半
(3) ①P、N两点重合前，四边形PQMN是平行四边形，即$QM = PN$ $\therefore15 - x - 3x = 15 - x^{2}-2x$ 整理，得$x^{2}-$$2x = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=0$(不合题意，舍去) ②P、N两点重合后，四边形PMQN是平行四边形，即$QM = NP$$\therefore15 - x - 3x = x^{2}+2x - 15$ 整理，得$x^{2}+6x - 30 = 0$，解得$x_{1}=\sqrt{39}-3$，$x_{2}=-\sqrt{39}-3$(不合题意，舍去) 综上所述，当$x = 2$或$x=\sqrt{39}-3$时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形