《2025年金钥匙提优训练课课练九年级数学上册江苏版徐州专版》

10. 已知$x(2x - y) = y(y - 2x)(xy \neq 0)$，求$\frac{x^2 + y^2}{xy}$的值.

答案： 10. 根据题意，得 $x(2x - y) - y(y - 2x) = 0$，$\therefore x(2x -y) + y(2x - y) = 0$，$\therefore (x + y)(2x - y) = 0$，$\therefore x + y = 0$或 $2x - y = 0$，$\because xy \neq 0$，$\therefore$ 当 $y = -x$ 时，$\frac{x^2 + y^2}{xy} = -2$；当 $y = 2x$ 时，$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{5}{2}$. 综上所述，$\frac{x^2 + y^2}{xy}$ 的值为 $-2$ 或 $\frac{5}{2}$.

11. (新视角·探究题)将$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$从右往左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$.
示例：$x^2 + 5x + 6 = x^2 + (2 + 3)x + 2×3 = (x + 2)(x + 3)$.
(1)分解因式：$x^2 + 6x + 8 = (x +$2$)(x +$4$)$；
(2)请用上述方法解方程：$x^2 - 13x - 14 = 0$.

答案： 11.
(1) 2 4
(2) $\because x^2 - 13x - 14 = 0$，$\therefore x^2 + (-14 +1)x + (-14) × 1 = 0$，$\therefore (x + 1)(x - 14) = 0$，$\therefore x + 1 = 0$或 $x - 14 = 0$，解得 $x_1 = -1,x_2 = 14$

12. （换元法）阅读材料：
解方程：$(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 6 = 0$.
解：设$x^2 - 1 = y$，则原方程化为$y^2 - 5y + 6 = 0$，
解得$y_1 = 2,y_2 = 3$.
当$y = 2$时，$x^2 - 1 = 2$，解得$x = ±\sqrt{3}$；
当$y = 3$时，$x^2 - 1 = 3$，解得$x = ±2$.
∴ 原方程的解为$x_1 = \sqrt{3},x_2 = -\sqrt{3},x_3 = 2,x_4 = - 2$.
以上解方程的方法叫作换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想.
（1）请用上述方法解方程：$(2x - 5)^2 - 4(2x - 5) + 3 = 0$；
（2）已知实数$x$、$y$满足$(x^2 + y^2 + 3)^2 - 7x^2 - 7y^2 - 21 = 8$，求$x^2 + y^2$的值.

答案： 12.
(1) $\because (2x - 5)^2 - 4(2x - 5) + 3 = 0$，$\therefore$ 设 $2x - 5 = a$，则原方程化为 $a^2 - 4a + 3 = 0$，解得 $a_1 =1,a_2 = 3$. 当 $a = 1$ 时，$2x - 5 = 1$，解得 $x = 3$；当 $a = 3$ 时，$2x - 5 = 3$，解得 $x = 4$，$\therefore$ 原方程的解为 $x_1 = 3,x_2 = 4$
(2) $(x^2 + y^2 + 3)^2 - 7x^2 - 7y^2 - 21 = 8$，整理，得$(x^2 + y^2 + 3)^2 - 7(x^2 + y^2) - 21 = 8$. 设 $x^2 + y^2 = b$，则原方程化为 $(b + 3)^2 - 7b - 21 = 8$. 整理，得 $b^2 - b - 20 = 0$，解得 $b_1 = 5,b_2 = -4$. 当 $b = 5$ 时，$x^2 + y^2 = 5$；当 $b = -4$ 时，$x^2 + y^2 = -4$（不符合题意，舍去），$\therefore x^2 + y^2 = 5$