《2025年金钥匙提优训练课课练九年级数学上册江苏版徐州专版》

11. 用直接开平方法解下列方程：
（1）$\frac{1}{3}x^2 - 27 = 0$；
（2）$3(x - 3)^2 = 75$；
（3）$7(2x - 3)^2 = 28$；
（4）$(y + 4)(y - 4) - 9 = 0$；
（5）$y^2 - 6y + 9 = (5 - 2y)^2$；
（6）$4(2m - 5)^2 = 9(m - 1)^2$。

答案： 11.
(1) $x_1 = 9$,$x_2 = -9$
(2) $x_1 = 8$,$x_2 = -2$
(3) $x_1 = \frac{5}{2}$,$x_2 = \frac{1}{2}$
(4) $y_1 = 5$,$y_2 = -5$
(5) $y_1 = 2$,$y_2 = \frac{8}{3}$
(6) $m_1 = 7$,$m_2 = \frac{13}{7}$

12. 若$(x^2 + y^2 - 1)^2 = 36$，求$x^2 + y^2$的值。

答案： 12. 根据题意，得$x^2 + y^2 - 1 = \pm 6$，则$x^2 + y^2 = 7$或$x^2 + y^2 = -5$. 又$\because x^2 + y^2 \geqslant 0$，$\therefore x^2 + y^2 = 7$

13. 已知一个直角三角形的两边长是方程$9 - (x - 8)^2 = 0$的两个解，求直角三角形的第三边长。

答案： 13. 由$9 - (x - 8)^2 = 0$，解得$x_1 = 11$,$x_2 = 5$. $\therefore$在直角三角形中，由勾股定理，得直角三角形的第三边长为$\sqrt{11^2 + 5^2} = \sqrt{146}$或$\sqrt{11^2 - 5^2} = 4\sqrt{6}$

14. 定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，如$[1.8] = 1$，$[-1.4] = -2$，$[-3] = -3$。函数$y = [x]$的部分图像如图所示，若$-2 \leq x ＜ 2$，求方程$[x] = \frac{1}{2}x^2$的解。

答案： 14. 当$1\leqslant x ＜ 2$时，$[x] = 1$，$\therefore \frac{1}{2}x^2 = 1$，解得$x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$(不合题意，舍去)；当$0\leqslant x ＜ 1$时，$[x] = 0$，$\therefore \frac{1}{2}x^2 = 0$，解得$x_3 = x_4 = 0$；当$-2\leqslant x ＜ 0$时，$[x] ＜ 0$，$\because \frac{1}{2}x^2 \geqslant 0$，$\therefore$没有符合条件的$x$满足$[x] = \frac{1}{2}x^2$.综上所述，方程$[x] = \frac{1}{2}x^2$的解为$x = \sqrt{2}$或$x = 0$