《2025年金钥匙提优训练课课练九年级数学上册江苏版徐州专版》

9. 如图,A、P、B、C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°.
(1) 求证:△ABC是等边三角形;
(2) 求圆心O到BC的距离(即OD的长).

答案：
9.
(1)
∵ ∠ABC = ∠APC, ∠APC = 60°,
∴ ∠ABC = 60°. 又
∵ ∠BAC = 60°,
∴ ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 60°.
∴ ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB.
∴ △ABC 是等边三角形　　
(2) 如图,连接OB、OC.
∵ OB = OC, ∠BOC = 2∠BAC = 120°,
∴ ∠OBD = ∠OCB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BOC) = 30°.
∵ OD ⊥ BC,
∴ ∠ODB = 90°.
∵ OB = 8,
∴ OD = $\frac{1}{2}$OB = 4
　　　　　　　

10. 如图,在⊙O中,AB⌢=BC⌢=CD⌢,OC与AD相交于点E.求证:
(1) AD//BC;
(2) 四边形BCDE是菱形.

答案：
10.
(1) 如图,连接BD.
∵ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠ADB = ∠CBD.
∴ AD//BC
(2) 如图,连接OD、OB,设BD与CE交于点F.
∵ AD//BC,
∴ ∠EDF = ∠CBF.
∵ $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BOC = ∠COD, BC = CD. 又
∵ OB = OD, ∠DFE = ∠BFC,
∴ BF = DF. 在 △DEF 和 △BCF 中,DF = BF,∠EDF = ∠CBF,
∴ △DEF ≌ △BCF.
∴ DE = BC. 又
∵ DE//BC,
∴ 四边形BCDE是平行四边形. 又
∵ BC = CD,
∴ 四边形BCDE是菱形
　　　　　　　

11. (2024·武汉二模)如图,在⊙O中,AD⌢=DC⌢=CB⌢,连接OC、OD、AB、AC、BD,过点B作BE//AC交DC的延长线于点E.
(1) 求证:∠A=∠E;
(2) 若CD=2√5,BE=8,求⊙O的半径.

答案：
11.
(1)
∵ BE//AC,
∴ ∠E = ∠ACD.
∵ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$,
∴ ∠ACD = ∠A.
∴ ∠A = ∠E
(2)
∵ ∠A = ∠BDC, ∠A = ∠E,
∴ ∠E = ∠BDC.
∴ BD = BE = 8. 如图,连接OB. 设OC交BD于点H.
∵ $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BOC = ∠COD. 又
∵ OB = OD,
∴ OC ⊥ BD, DH = $\frac{1}{2}$BD = 4. 在Rt△CHD中,由勾股定理,得CH = $\sqrt{CD^2 - DH^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 4^2} = 2$. 设OD = OC = r,则OH = r - 2. 在Rt△OHD中,由勾股定理,得OH² + DH² = OD²,即 (r - 2)² + 4² = r²,解得r = 5,即 ⊙O的半径为5
　　　　　　

12. 如图,在⊙O中,B是⊙O上一点,∠ABC=120°,弦AC=2√3,弦BM平分∠ABC交AC于点D,连接AM、MC.
(1) 求⊙O的半径;
(2) 试探究线段AB、BC、BM之间的等量关系,并给予证明.

答案：
12.
(1) 如图,连接OA、OC,过点O作OH ⊥ AC于点H.
∵ ∠ABC = 120°, BM平分∠ABC,
∴ ∠MBA = ∠MBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 60°.
∵ $\overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{AM}$, $\overset{\frown}{CM} = \overset{\frown}{CM}$,
∴ ∠ACM = ∠ABM = 60°, ∠MAC = ∠MBC = 60°.
∴ ∠AMC = 60°.
∴ △AMC是等边三角形, ∠AOC = 2∠AMC = 120°.
∵ AO = CO,
∴ ∠OAC = ∠OCA = 30°.
∵ OH ⊥ AC, AC = 2$\sqrt{3}$,
∴ AH = CH = $\frac{1}{2}$AC = $\sqrt{3}$.
∵ 在Rt△AOH中, ∠OAH = 30°,
∴ OA = 2OH.
∴ 易得OH = 1, OA = 2.
∴ ⊙O的半径为2
(2) AB + BC = BM 如图,在BM上截取BE = BC,连接CE.
∵ ∠MBC = 60°,
∴ △EBC是等边三角形.
∴ BC = EC, ∠BCE = 60°.
∴ ∠BCA + ∠DCE = 60°.
∵ ∠ACM = 60°,
∴ ∠ECM + ∠DCE = 60°.
∴ ∠BCA = ∠ECM.
∵ △AMC是等边三角形,
∴ AC = MC. 在 △ACB 和 △MCE 中,BC = EC,∠BCA = ∠ECM,AC = MC,
∴ △ACB ≌ △MCE.
∴ AB = ME.
∵ ME + BE = BM,
∴ AB + BC = BM