《2025年补充习题江苏九年级数学上册苏科版》

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BCA= 90^{\circ}$,$Q是AC$的中点,以$BC为直径的\odot O交AB于点P$. 判断直线$PQ与\odot O$的位置关系,并说明理由.

答案：
解：直线PQ与⊙O相切.理由如下：
连接OP、CP，如图所示

∵BC是⊙O的直径
∴∠BPC=90°.
又
∵Q是AC的中点
∴PQ=CQ=AQ
∴∠QPC=∠PCQ
∵∠BCA=90°
∴∠OCP+∠PCQ=90°
∵∠OPC=∠OCP，∠QPC=∠PCQ
∴∠OPC+∠QPC=90°
即∠OPQ=90°
∵以BC为直径的⊙O交AB于点P
∴直线PQ与⊙O相切

16. 如图,$\odot O$的半径为8,$A是半径OB$延长线上一点,$AC是\odot O$的切线,切点为$C$,$\overset{\frown}{BC}的长为2\pi$. 求$AB$的长.

答案： 解：设∠COB=n°，
∵⊙O的半径为8， $\widehat{BC}$的长为2π，
∴ $\frac{nπ×8}{180}=2π$，
∴n=45
∴∠COB=45°
∵AC是⊙O的切线，切点为C
∴OC⊥AC
∵OC⊥AC，OC=8，∠COB=45°
∴AC=OC=8
∴ $AO=\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}=8\sqrt{2}$
∴ $AB=OA-OB=8\sqrt{2}-8$

17. 如图,$BC是\odot O$的直径,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AC}$,$D是\overset{\frown}{AC}$上的一点,$CD$、$BA的延长线相交于点E$,$AC与BD相交于点F$.$CE与BF$相等吗？为什么？

答案： 解: CE= BF.理由如下:
因为BC是圆O的直径,
所以∠BAF=∠CAE=90°，
因为 ${\widehat{AD }}$所对的圆周角有∠ACE和∠ABF ,
所以∠ACE=∠ABF.
因为 ${\widehat{AB }}={\widehat{AC }}$,
所以AB=AC ,
在△ABF和△ACE中
$\begin{cases}{∠BAF=∠CAE }\\{AB=AC} \\ {∠ABF=∠ACE } \end{cases}$
所以△ABF≌△ACE(ASA)
所以CE=BF.