《2025年补充习题江苏九年级数学上册苏科版》

27. 如图,$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆,$ D $ 是 $ \overset{\frown}{BC} $ 的中点,$ DE $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ \angle BAF $ 是 $ \triangle ABC $ 的一个外角. $ \angle EAB $ 与 $ \angle EAF $ 相等吗？为什么？

答案：
解:相等,理由:
连接BE,CE
因为四边形AEBC是圆O的内接四边形
所以∠CAE+∠EBC=180°
因为∠CAE+∠EAF= 180°
所以∠EAF=∠EBC,
因为D是BC的中点, DE是圆O的直径
所以BE=CE,
所以∠EAB=∠EBC
所以∠EAB=∠EAF.

28. 如图,$ \triangle ABC $ 是 $ \odot O $ 的内接三角形,且 $ AB = AC $,$ BD $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ PA // BC $,与 $ DB $ 的延长线相交于点 $ P $,连接 $ AD $.
(1) 判断 $ PA $ 与 $ \odot O $ 的位置关系,并说明理由；
(2) 若 $ AB = \sqrt{5} $,$ BC = 4 $,求 $ AD $ 的长.

答案：
解:
(1)PA与圆O相切,理由如下:
连接OA交BC于点E
因为AB=AC
所以OA⊥BC
因为PA//BC
所以∠PAO=∠BEO=90°
又因为OA为半径.
所以PA是圆O的切线
(2)由
(1)可知BE= $\frac{1}{2}$BC=2
在直角△ACE中
AE= $\sqrt{AB²-BE²}$= 1
设半径OA=OB=r
在Rt△BOE中，BO² = BE²+ OE²
即r²=2²+(r-1)²
解得r= $\frac{5}{2}$
即BD=2OB= 5
因为BD是直径, 
所以∠BAD=90°
所以AD= $\sqrt{BD²-AB²}$= $2\sqrt{5}$