《2025年暑假作业教育科学出版社七年级数学广西专版》

12. 【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根. 华罗庚脱口而出：39. 邻座的乘客十分惊奇,忙问计算的技巧. 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵$\sqrt [3]{1000}= 10$,$\sqrt [3]{1000000}= 100$,1000＜59319＜1000000,∴10＜$\sqrt [3]{59319}$＜100. ∴能确定59319的立方根是个两位数.
第二步：∵59319的个位数是9,9^3= 729,∴能确定59319的立方根的个位数是9.
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59,而$\sqrt [3]{27}＜\sqrt [3]{59}＜\sqrt [3]{64}$,则3＜$\sqrt [3]{59}$＜4,可得30＜$\sqrt [3]{59000}$＜40,由此能确定59319的立方根的十位数是3,因此59319的立方根是39.
【解答问题】根据上面材料,解答下面的问题.
(1)根据计算步骤,请计算17576的立方根,并书写详细过程.
(1) 计算17576的立方根
- **第一步：确定立方根是几位数
已知$\sqrt[3]{1000} = 10$，$\sqrt[3]{1000000}=100$，因为$1000\lt17576\lt1000000$，所以$10\lt\sqrt[3]{17576}\lt100$，由此能确定$17576$的立方根是个两位数。
- **第二步：确定立方根的个位数
由于$17576$的个位数是$6$，且$6^3 = 216$，所以能确定$17576$的立方根的个位数是$6$。
- **第三步：确定立方根的十位数
划去$17576$后面的三位$576$得到数$17$，又因为$\sqrt[3]{8}\lt\sqrt[3]{17}\lt\sqrt[3]{27}$，即$2\lt\sqrt[3]{17}\lt3$，可得$20\lt\sqrt[3]{17000}\lt30$，由此能确定$17576$的立方根的十位数是$2$。
综上，$17576$的立方根是$26$。
(2)填空：$\sqrt [3]{0.226981}= $______.0.61

答案： $(1)$ 计算$17576$的立方根
- **第一步：确定立方根是几位数
已知$\sqrt[3]{1000} = 10$，$\sqrt[3]{1000000}=100$，因为$1000\lt17576\lt1000000$，所以$10\lt\sqrt[3]{17576}\lt100$，由此能确定$17576$的立方根是个两位数。
- **第二步：确定立方根的个位数
由于$17576$的个位数是$6$，且$6^3 = 216$，所以能确定$17576$的立方根的个位数是$6$。
- **第三步：确定立方根的十位数
划去$17576$后面的三位$576$得到数$17$，又因为$\sqrt[3]{8}\lt\sqrt[3]{17}\lt\sqrt[3]{27}$，即$2\lt\sqrt[3]{17}\lt3$，可得$20\lt\sqrt[3]{17000}\lt30$，由此能确定$17576$的立方根的十位数是$2$。
综上，$17576$的立方根是$26$。
$(2)$ 计算$\sqrt[3]{0.226981}$
- **第一步：确定立方根是几位数
因为$\sqrt[3]{0.125}=0.5$，$\sqrt[3]{1}=1$，且$0.125\lt0.226981\lt1$，所以$0.5\lt\sqrt[3]{0.226981}\lt1$，能确定$0.226981$的立方根是个一位小数。
- **第二步：确定立方根的数值
$0.226981$的小数点后有$6$位，可将其看作$226981$缩小$10^{6}$倍，$226981$的个位数是$1$，$1^3 = 1$，划去$226981$后面三位$981$得到$226$，$\sqrt[3]{125}\lt\sqrt[3]{226}\lt\sqrt[3]{343}$，即$5\lt\sqrt[3]{226}\lt7$，又因为$6^3=216$，$7^3 = 343$，$226 - 216=10$，$343 - 226 = 117$，$10\lt117$，所以$\sqrt[3]{226981}=61$，那么$\sqrt[3]{0.226981}=0.61$。
故答案依次为：$(1)$ $26$（过程见上述）；$(2)$ $0.61$。