《2025年暑假作业教育科学出版社七年级数学广西专版》

13. 如图所示,直线$AE$,$CF被直线BD$所截,连接$AD$,$BC$,已知$AE// CF$,$AD// BC$.
(1)若$\angle 1 = 35^{\circ}$,求$\angle 2$的度数;
(2)若$AD平分\angle BDF$,试证明:$BC平分\angle DBE$.

答案： 1. （1）
因为$AE// CF$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$\angle 1=\angle BDC = 35^{\circ}$。
又因为$\angle 2+\angle BDC = 180^{\circ}$（邻补角的定义），所以$\angle 2=180^{\circ}-\angle BDC$。
把$\angle BDC = 35^{\circ}$代入可得$\angle 2 = 180^{\circ}-35^{\circ}=145^{\circ}$。
2. （2）
解（证明）：
因为$AE// CF$，所以$\angle EBD=\angle BDF$（两直线平行，内错角相等），$\angle 1=\angle BDC$（两直线平行，同位角相等）。
因为$AD// BC$，所以$\angle ADB=\angle DBC$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$AD$平分$\angle BDF$，所以$\angle ADB=\frac{1}{2}\angle BDF$。
由$\angle EBD=\angle BDF$，可得$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle EBD$（等量代换）。
而$\angle 1+\angle EBC=\angle EBD$，$\angle 1=\angle BDC$，$\angle ADB=\angle DBC$，$\angle ADB=\frac{1}{2}\angle BDF$，$\angle EBD=\angle BDF$，所以$BC$平分$\angle DBE$。
综上，（1）$\angle 2$的度数为$145^{\circ}$；（2）证明如上。

14. 角度侦探行动
【准备工具】一根长橡皮筋,$5$枚图钉(标记点$A$,$B$,$C$,$D$,$E$),白纸,彩笔.
【实践操作】如图所示,将四枚图钉$A$,$B$,$C$,$D与橡皮筋固定成如图1$所示的形状,且$AB// CD$,
(1)此时,$\angle B与\angle C$满足怎样的数量关系?
(2)用图钉$E向右拉动BC$,改变橡皮筋$BC$段的形状,如图$2$所示,此时,$\angle B$,$\angle C与\angle E$三者有怎样的数量关系?
(3)你还有哪些改变橡皮筋$BC$段形状的方法?请在图$3$中画出,并直接写出$\angle B$,$\angle C与\angle E$三者的数量关系。

答案：
1. （1）
解：过点$B$作$BF// CD$，因为$AB// CD$，根据平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），所以$AB// BF// CD$。
根据两直线平行，同旁内角互补，$\angle ABF+\angle BFC = 180^{\circ}$，$\angle FBC+\angle C=180^{\circ}$（这里$\angle B=\angle ABF + \angle FBC$），又因为$AB// CD$，$BF// CD$，$AB// BF$，所以$\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
2. （2）
解：过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，所以$EF// AB// CD$。
根据两直线平行，内错角相等，$\angle B=\angle BEF$，$\angle C=\angle CEF$。
而$\angle BEC=\angle BEF+\angle CEF$，所以$\angle B+\angle C=\angle BEC$。
3. （3）
∠B+∠E+∠C=360°