《2025年名校课堂七年级数学上册人教版江西专版》

综合与探究
【问题情境】
一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.
例如:若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a,b,则通常记这个两位数为$\overline{ab}$,于是$\overline{ab}=10a + b = 9a+(a + b)$.显然9a能被3整除,因此,如果$a + b$能被3整除,那么$9a+(a + b)$就能被3整除,即$\overline{ab}$能被3整除.
【类比探究】
已知三位数$\overline{abc}$.
(1)$\overline{abc}=$100a+10b+c.(请用含a,b,c的代数式表示)
(2)若$a + b + c$能被3整除,则三位数$\overline{abc}$就能被3整除.请说出其中的道理.
【类比拓展】
判断一个三位数能否被7整除,只需看去掉这个数的末位数字后,所得到的数与此末尾数字5倍的和能否被7整除.若这个和能被7整除,则原数就能被7整除.
例如:三位数$\overline{abc}$去掉末位数字c,得两位数$\overline{ab}$,再用$\overline{ab}$加上c的5倍,所得的和为$\overline{ab}+5c$.若$\overline{ab}+5c$是7的倍数,则$\overline{abc}$能被7整除.
(3)请说明“若$\overline{ab}+5c$是7的倍数,则$\overline{abc}$能被7整除”这个结论成立的理由.

答案：
(1)100a+10b+c
(2)$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=$3(33a+3b)+(a+b+c).
∵a 为正整数，b,c 为整数，
∴33a+3b 为正整数.
∴3(33a+3b)能被 3 整除,又
∵a+b+c 能被 3 整除,
∴99a+9b+(a+b+c)能被 3 整除,即$\overline{abc}$能被 3 整除.
(3)$\overline{abc}=100a+10b+c=10(10a+b)+c=10\overline{ab}+c$.
∵$\overline{ab}+5c$能被 7 整除,
∴可设$\overline{ab}+5c=7k$(k 为整数).
∴$\overline{ab}=7k-5c$.
∴$\overline{abc}=100a+10b+c=10\overline{ab}+c=10(7k-5c)+c=70k-50c+c=70k-49c=7(10k-7c)$.
∵k,c 为整数,
∴10k-7c 为整数.
∴$\overline{abc}$能被 7 整除.