《2025年名校课堂七年级数学上册人教版江西专版》

1. (2023·岳阳)观察下列式子：$1^{2}-1 = 1×0$；$2^{2}-2 = 2×1$；$3^{2}-3 = 3×2$；$4^{2}-4 = 4×3$；$5^{2}-5 = 5×4\cdots\cdots$依此规律，则第 $n$($n$ 为正整数)个等式是$n^{2}-n=n(n-1)$.

答案： $n^{2}-n=n(n-1)$

2. (2024·云南改编)有一组按一定规律排列的代数式：$2x$，$3x^{2}$，$4x^{3}$，$5x^{4}$，$6x^{5}$，$\cdots$，则第 $n$ 个代数式是$(n+1)x^{n}$.

答案： $(n+1)x^{n}$

3. 符号“$f$”“$g$”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下：
(1)$f(1)=0$，$f(2)=1$，$f(3)=2$，$f(4)=3$，$\cdots$，$f(10)=9\cdots\cdots$
(2)$g(\frac{1}{2}) = 2$，$g(\frac{1}{3}) = 3$，$g(\frac{1}{4}) = 4$，$g(\frac{1}{5}) = 5$，$\cdots$，$g(\frac{1}{11}) = 11\cdots\cdots$
利用以上规律计算：$g(\frac{1}{2025}) - f(2025) =$1.

答案： 1

4. 观察这组数：$\frac{2}{3}$，$\frac{6}{9}$，$\frac{12}{27}$，$\frac{20}{81}$，$\frac{30}{243}$，$\cdots$，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第 $n$ 个数是$\frac{n(n+1)}{3^{n}}$.

答案： $\frac{n(n+1)}{3^{n}}$

5. $A$湖南师大附中校本经典题 如图，我们做一个游戏：从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指$\cdots$的顺序依次数正整数 $1$，$2$，$3$，$4$，$5\cdots$.当第 $n$ 次数到中指时，恰好数到的数是$4n-1$(用含 $n$ 的代数式表示).

答案： $4n-1$

6. (2023·重庆)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了 $9$ 根木棍，第②个图案用了 $14$ 根木棍，第③个图案用了 $19$ 根木棍，第④个图案用了 $24$ 根木棍$\cdots\cdots$按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是(B)


A.$39$
B.$44$
C.$49$
D.$54$

答案： B

7. 分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的.如图，这是分形的一种，第 $1$ 个图案有 $2$ 个三角形，第 $2$ 个图案有 $4$ 个三角形，第 $3$ 个图案有 $8$ 个三角形，第 $4$ 个图案有 $16$ 个三角形$\cdots\cdots$下列数据中，是按此规律分形得到的三角形的个数的是(B)


A.$56$
B.$64$
C.$80$
D.$100$

答案： B

8. (2023·山西)如图，这是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第 $1$ 个图案中有 $4$ 个白色圆片，第 $2$ 个图案中有 $6$ 个白色圆片，第 $3$ 个图案中有 $8$ 个白色圆片，第 $4$ 个图案中有 $10$ 个白色圆片$\cdots\cdots$依此规律，第 $n$ 个图案中有$(2+2n)$个白色圆片(用含 $n$ 的代数式表示).

答案： $(2+2n)$

9. 如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放.若第 $n$ 个图中有 $6078$ 枚棋子，则 $n$ 的值是2025.

答案： 2025

10. 新考向 推理能力 下列数阵是由 $50$ 个偶数按照 $5×10$ 排成的，框内有四个数.
(1)猜测：图中框内四个数之和与数字 $4$ 有什么关系？
(2)在数阵中任意画一个类似于(1)中的框，设左上角的数为 $x$，那么怎样表示其他三个数？
(3)任意移动这个框，是否都能得到(1)中的结论？你能说明理由吗？

答案： 10.解:
(1)图中框内四个数之和能被4整除.
(2)其他三个数分别为$x+2$,$x+12$,$x+14$.
(3)能.理由如下:$x+x+2+x+12+x+14=4x+28=4(x+7)$,$\because x$为整数,$\therefore x+7$为整数.$\therefore$任意移动这个框,框内四个数之和都能被4整除.