《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

12. 如果关于x的方程$(k^2 - 9)x^2 - 2(k + 1)x + 1 = 0$恰好只有一个根,那么k的值为±3或-5.

答案： ±3或-5 解析:①当原方程是一元一次方程时,方程只有一个实数根,则$k^{2}-9=0$,解得$k=±3$.②当原方程是一元二次方程时,方程有两个相等的实数根,即$a≠0$,$b^{2}-4ac=0$.
∴$k^{2}-9≠0$,$4(k+1)^{2}-4(k^{2}-9)=0$,解得$k=-5$.综上所述,k的值为±3或-5.

13. *已知关于x的方程$x^2 - (3k + 1)x + 2k^2 + 2k = 0$.
(1)求证：无论k取何值,方程总有实数根.
(2)若等腰三角形ABC的一边长$a = 6$,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.

答案：
(1)
∵$b^{2}-4ac=[-(3k+1)]^{2}-4(2k^{2}+2k)=9k^{2}+6k+1-8k^{2}-8k=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}≥0$,
∴无论k取何值,方程总有实数根.
(2)①若a为底边长,则b、c为腰长.
∴$b=c$.
∴$(k-1)^{2}=0$,解得$k=1$.
∴原方程可化为$x^{2}-4x+4=0$.
∴$x_{1}=x_{2}=2$.
∴$b=c=2$,此时△ABC的三边长为6、2、2,不能构成三角形,舍去.
②若a为腰长,则b、c中有一个为腰长,不妨设$b=a=6$.将$x=6$代入方程,得$6^{2}-6(3k+1)+2k^{2}+2k=0$,解得$k=3$或$k=5$.当$k=3$时,原方程可化为$x^{2}-10x+24=0$,解得$x_{1}=4$,$x_{2}=6$.
∴$b=6$,$c=4$,此时△ABC的三边长为6、6、4,能构成三角形.当$k=5$时,原方程可化为$x^{2}-16x+60=0$,解得$x_{3}=6$,$x_{4}=10$.
∴$b=6$,$c=10$,此时△ABC的三边长为6、6、10,能构成三角形.
∴△ABC的周长为$6+6+4=16$或$6+6+10=22$.
方法归纳——解决一元二次方程与等腰三角形问题的一般步骤往往先根据一元二次方程根的判别式与0的大小关系,确定方程总有实数根,再根据三角形的形状和已知边长分情况讨论方程根的情况,求得方程中的待定系数及其解,并结合三角形三边关系确定三角形的三边长和周长.在特殊情况下,也可以根据一元二次方程根的判别式为完全平方式,直接运用公式法求得方程的根,再分类讨论求得符合条件的三角形的三边长和周长.