《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

1. (2024·福建)如图,点 A、B 在$\odot O$上,$\angle AOB= 72^\circ$,直线 MN 与$\odot O$相切,切点为 C,且 C 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,则$\angle ACM$等于(A)

A.$18^\circ$
B.$30^\circ$
C.$36^\circ$
D.$72^\circ$

答案： A

2. (2023·眉山)如图,AB 切$\odot O$于点 B,连接 OA 交$\odot O$于点 C,过点 B 作$BD// OA交\odot O$于点 D,连接 CD. 若$\angle OCD= 25^\circ$,则$\angle A$的度数为(C)

A.$25^\circ$
B.$35^\circ$
C.$40^\circ$
D.$45^\circ$

答案： C

3. 如图,BC 是$\odot O$的切线,B 是切点,连接 CO 交$\odot O$于点 D,延长 CO 交$\odot O$于点 A,连接 AB. 若$\angle C= 30^\circ$,$OD= 2$,则 AB 的长为$2\sqrt{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$

4. (2023·北京)如图,OA 是$\odot O$的半径,BC 是$\odot O$的弦,$OA\perp BC$于点 D,AE 是$\odot O$的切线,AE 交 OC 的延长线于点 E. 若$\angle AOC= 45^\circ$,$BC= 2$,则 AE 的长为$\sqrt{2}$.

答案： $\sqrt{2}$

5. 如图,BC 是$\odot O$的直径,点 A 在$\odot O$上,AD 与$\odot O$相切于点 A,交 BC 的延长线于点 D,E 是$\overset{\frown}{AB}$上一点,连接 AB、AC、AE、BE.
(1)若$\angle AEB= 110^\circ$,求$\angle D$的度数.
(2)求证：$\angle CAD= \angle ABC$.

答案：
（1）如图,连接CE、OA.
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BEC=∠BAC=90°.
∵ ∠AEB=110°，
∴ ∠AEC=110° - 90° = 20°.
∴ ∠AOD=2∠AEC=40°.
∵ AD与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥AD.
∴ ∠OAD=90°.
∴ ∠D=90° - ∠AOD=50°.
（2）由（1）,知∠BAC=∠OAD=90°，
∴ ∠BAO+∠OAC=∠CAD+∠OAC=90°.
∴ ∠CAD=∠BAO.
∵ OA=OB，
∴ ∠BAO=∠ABC.
∴ ∠CAD=∠ABC.

6. 如图,BC 为$\odot O$的直径,弦$AD\perp BC$于点 E,连接 AB,直线 l 与$\odot O$相切于点 C,连接 OD 并延长交直线 l 于点 F. 若$AE= 2$,$\angle ABC= 22.5^\circ$,则 CF 的长为(B)
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4

答案： B

7. 如图,AB 是$\odot O$的弦,$OA\perp OD$,BD 与$\odot O$相切,AB、OD 相交于点 C. 若$OA= 3$,$OC= 1$,则线段 BD 的长为(B)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B 解析：
∵ BD与⊙O相切，
∴ OB⊥BD.
∴ ∠OBC+∠CBD=90°.
∵ OA⊥OD，
∴ ∠OAC+∠ACO=90°.
∵ OA=OB，
∴ ∠OAC=∠OBC.
∴ ∠CBD=∠ACO.
∵ ∠BCD=∠ACO，
∴ ∠BCD=∠CBD.
∴ BD=CD.
∴ OD=OC+CD=1+BD.
∵ 在Rt△OBD中，OD²=OB²+BD²，OB=OA=3，
∴ (1+BD)²=3²+BD².
∴ BD=4.

8. 如图,正方形 ABCD 的顶点 A、B 都在$\odot O$上,且边 CD 与$\odot O$相切于点 E. 如果$\odot O$的半径为 1,那么正方形 ABCD 的边长为______.

答案：
$\frac{8}{5}$ 解析：如图，连接EO并延长，交AB于点H，连接AO.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，AB//CD，∠D=∠DAH=90°.
∵ 边CD与⊙O相切于点E，
∴ HE⊥CD.
∴ ∠DEH=90°，HE⊥AB.
∴ ∠AHO=90°，$AH=\frac{1}{2}AB$.
∵ ∠DAH=∠D=∠DEH=90°，
∴ 四边形AHED是矩形.
∴ HE=AD.设OH=x，则AD=AB=HE=x+1.
∴ $AH=\frac{x+1}{2}$.
∵ 在Rt△AHO中，由勾股定理，得AO²=AH²+OH²，
∴ $1^{2}=(\frac{x+1}{2})^{2}+x^{2}$，解得$x_{1}=\frac{3}{5}$，$x_{2}=-1$（不合题意，舍去）.
∴ $AD=\frac{8}{5}$.
∴ 正方形ABCD的边长为$\frac{8}{5}$.